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Niveau 2 *
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Les disques ficelés.**

Posté par
J-P Posteur d'énigmes
18-11-05 à 14:51

Deux disques, l'un de diamètre 36 cm et l'autre de diamètre 12 cm sont tangents l'un à l'autre.

Une ficelle d'épaisseur négligeable et inextensible entoure les 2 disques, comme montré sur le dessin.

La ficelle est tendue.

Quelle est la longueur de la ficelle ?

Cette longueur sera exprimée en cm arrondie au dixième de cm le plus proche.
-----
Bonne chance à tous.  






Les disques ficelés.

Posté par
Nofutur2
re : Les disques ficelés.** 18-11-05 à 15:36

perduOn a dans le triangle OO'B' :
O'B'2 = OO'2-OB'2 = (36+12)2-(36-12)2 = 4*36*12
O'B' =AB = 243.
cos (AOO') = (36-12)/(36+12) = 0,5
donc angle (AOO') = 60 °
arc AD = 2*pi*36*2/3
De même angle (AO'B) = 120°
Arc BC = 2*pi*12*1/3
La ficelle a donc pour longueur :
L = 2*24 3 + 2*pi* (24+4)= 259,0675
259,1 cm

Les disques ficelés.

Posté par
cissou3
re : Les disques ficelés.** 18-11-05 à 15:51

perdu
avec la figure, on peut se ramener au cas de Talès suivant :

        _______
  (     !  f     /   ]      e=6 ; f=18 ; b-a=6+18=24
  (     !       /    ]      
b(     !____/     ]d      b/a=d/c=f/e
  (  (  ! e  /  ]   ]
  ( a(  !  /    ]c ]      d-c= ????
  (  (  ! /      ]  ]
  (  (  !/       ]  ]      a=eb/f=b-24  d'où  b=24/(1-e/f)=36

                          d=(f²+b²)=2405
                          cf=de d'où c=ed/f

                          d-c=d*(1-e/f)=2(405)*4/6
                             26,8

donc la longueur de la ficelle vaut : L=(18+6)+2*(d-c)
       L=24+53,6

L129,1 cm

Posté par philoux (invité)re : Les disques ficelés.** 18-11-05 à 15:57

gagnéBonjour,

Réponse proposée : 129,5 cm (28pi+24V3)

Philoux

Posté par
Bcracker
re : Les disques ficelés.** 18-11-05 à 16:38

perduBonjour ,

Je trouve que la longueur de la ficelle est d'environ 117 cm (116,9585618 cm )

(Je ne vais pas mettre toute la démonstration , mais j'ai utilisé Le théorème de Pythagore, calcul d'arcs et la formule de perimètre du cercle)

En espérant que ce soit juste

Bcracker
                               Merci pour l'énigme
                                          



Posté par
masterfab2
re : Les disques ficelés.** 18-11-05 à 16:52

gagné129.5 cm

Posté par
piepalm
re : Les disques ficelés.** 18-11-05 à 17:03

gagné28pi+24rac(3)=129,53 arrondi à 129,5 cm

Posté par
Youpi
re : Les disques ficelés.** 18-11-05 à 19:18

gagnéJe n'ai pas vraiment le temps de vérifier mes calculs donc j'éspère ne pas avoir fait d'erreur!
Je trouve 129,5 cm

Posté par
borneo
re : Les disques ficelés.** 18-11-05 à 19:39

gagnéBonjour, on fait la figure, on applique thalès et on trouve une longueur de 129,5 cm

merci pour l'énigme

Posté par
franz
re : Les disques ficelés.** 18-11-05 à 19:40

gagnéDans le cas général , en nommant  r_1 le rayon du grand cercle et r_2 celui du petit, la longueur de la courroie vaut :


\Large 4\sqrt{r_1r_2} + 2r_1 \(\pi - \theta) + 2r_2 \theta

\large \theta = Arccos\(\frac {r_1-r_2}{r_1+r_2}\)\

Dans notre cas on trouve \theta = \frac \pi 3 ce qui conduit à une longueur de courroie égale à
           \Large \red 24 \sqrt{3} \;+ \;28\,\pi\;\approx\;129,5\, cm
  

Posté par Dal (invité)re : Les disques ficelés.** 18-11-05 à 19:45

gagnéBonsoir !

Ma réponse est : 28 pi + 24 sqrt(3) = 129,5 cm

Posté par magui (invité)corde 18-11-05 à 21:34

192 je pense pas du tout que se soit cela ms je tente ma chance..

Posté par
geo3
Les disques ficelés 18-11-05 à 22:10

gagnéBonjour
Soient A et B les points de contact des tangentes avec les 2 cercles de rayon 18 et de centreO et celui de centre O' et de rayon 6. L'intersection de AB avec OO' est un centre d'homothétie de rapport 3 qui applique le petit cercle de rayon 6 sur le grand. ON a co' = 12  CA/CB = 3 ; or CB = rac( 12² - 6²) = rac(108) =6.rac(3)=10.392305 et AC = rac(36² - 18²) =rac(972)=31.176915 =>AB = 20.78461. L'angle AOB  est tel que 18 = 36.cos(AOB) => AOB = pi/3 = 1.071976. Arc AD = 2pi/3. 18  = 12p et arc BD' = pi/3.6 =2pi   et la longueur de la ficelle = 2.( 12pi + 2pi + 20.78461) =129,5 cm.
A plus.

Posté par
kaiser Moderateur
*challenge en cours* 18-11-05 à 22:18

gagnéLa longueur de la ficelle est de 129,5 cm.

Posté par
paulo
re : Les disques ficelés.** 18-11-05 à 23:13

gagnébonsoir,

la longueur de la ficelle tendue est de    3$28\pi+24\sqrt{3}

ce qui arrondi au dixieme de mm le plus proche  129,53 mm


               129,5 cm


merci pour cette enigme et a plus tard

Paulo

Posté par goupi1 (invité)rép Les disques ficelés. 19-11-05 à 01:31

perdu148.4 cm

Posté par
jacques1313
re : Les disques ficelés.** 19-11-05 à 07:22

gagnéSoir r = 6 cm.
D'après Pythagore, La longueur de la ficelle tendue entre les cercles est : \sqrt{\(4r\)^2-\(2r\)^2}=2\sqrt{3}r.
Le grand arc de cercle vaut : \frac{4\pi}{3}\times 3r
Et le petit arc de cercle : \frac{2\pi}{3}\times r

D'où la longueur de la ficelle : \(4\sqrt{3}+\frac{14\pi}{3}\)\times r \simeq129,5 cm

Les disques ficelés.

Posté par
manpower
re : Les disques ficelés.** 19-11-05 à 10:22

gagnéBonjour,

Par définition de la tangente, les droites (OC) et (PB) sont parallèles (car toutes deux perpendiculaires à (BC)), ainsi d'après le théorème de Thalès dans le triangle COA, \frac{x}{x+24}=\frac{6}{18} d'où x=PA=12cm..
On montre alors que les angles correspondants (donc égaux) vérifient cos\alpha=\frac{1}{2} donc valent \frac{\pi}{3}.
Enfin, la longeur BC se calcule via Pythagore et une soustraction dans le même triangle COA. On a BC=AC-AB=18\sqrt{3}-6\sqrt{3}=12\sqrt{3}.
Reste à sommer les différentes longueurs.
L'arc vert mesure \frac{4\pi}{3}\times 18, l'arc rouge \frac{2\pi}{3}\times 6 et les deux segments jaunes (égaux) mesurent chacun 12\sqrt{3}.
Finalement, la longueur de la ficelle vaut \green 28\pi+24\sqrt{3}.

Conclusion: Au dixième près, la longueur de ficelle mesure 3$ \red \rm 129,5 cm.

Merci pour l'énigme.

Les disques ficelés.

Posté par philoux (invité)re : Les disques ficelés.** 19-11-05 à 11:05

gagnéBonjour,

Voyant les réponses me précédant si rapidement données (je pense pourtant m'être mis au pb dès qu'il a été donné par J-P), je me suis dit que la méthode "bourrine" que j'avais optée (recherche de l'équation cartésienne de la tgte commune) n'était pas la plus adéquate et qu'une méthode géométrique était plus immédiate.

En effet, dans le schéma joint ci-dessous, la tangente QQ' est perpenticulaire à OQ et O'Q' => les angles en O et O' sont égaux.
L'abscisse de P est obtenue par Thales : OP/R = O'P/R' = (OP+R+R')/R' => OP = R'(R+R')/(R-R') = 36
Dans O'Q'P : cosa=R'/O'P=...=> cosa = (R-R')/(R+R') = 1/2 => a=pi/3=60°

On peut faire le calcul de x assez rapidement : en traçant la parallèle de QQ' passant par O, on a OS=R-R'
Pythagore dans OSO' donne : x²+OS²=OO'² => x²=(R+R')²-(R-R')²=4RR' => x=2V(RR') soit x=2V(18.6)=12V3

Il reste à déterminer la longueur des arcs AQ et A'Q' : AQ=R(pi-a) et A'Q'=R'a soit AQ=12pi et A'Q'=2pi

Soit la longueur L=2(12pi+2pi+12V3) => L=28pi+24V3

Le problème me plaisant, j'ai voulu le complexifier :
J'ai éloigné les centres des deux cercles d'une distance D (D>R+R') et suis passé en coordonnées réduites en prenant comme unité le rayon R' du cercle C'; en posant le paramètre k=D/R' et la variable x=R/R', j'arrive à l'équation liant y=L(x)=L/R' à x=R/R' :

y = L(x) =  2[ pi.x - (x-1)arccos( (x-1)/k ) + V( k²-(x-1)² ) ]

Pour avoir le L réel, il ne rest plus qu'à le multiplier par R'; dont les courbes paramétrées (selon k) sont données ci-après.

Joli pb "à la J-P" : des maths dans la vie quotidienne...

Philoux

Les disques ficelés.

Posté par philoux (invité)re : Les disques ficelés.** 19-11-05 à 11:06

gagnéla suite : les courbes paramétrées...

Philoux

Les disques ficelés.

Posté par pietro (invité)re : Les disques ficelés.** 19-11-05 à 11:28

j'ai trouvé 243 + 28 cm
donc en arrondissant :

Les disques ficelés.

Posté par Rivasko (invité)Enigme 19-11-05 à 12:49

perduBonjour,

Aprés quelques calculs, j ai déduit que la longuer du fil est 98.3cm

Posté par zackary0 (invité)re : Les disques ficelés.** 19-11-05 à 18:10

gagnéBonjour, voici ma reponse :
Grâce à Thalès et Pythagore :
AD=\frac{DG}{2}
\textrm{Donc, AD=12cm}
\textrm{AB=6\sqrt{3}}
\textrm{BE=12\sqrt{3}}
\textrm{\widehat{BAD}=30^o}
\textrm{Donc l'arc BC=4\pi} \textrm{et l'arc FE=24\pi}
\textrm{Conclusion : La ficelle mesure 28\pi+24\sqrt3}\textrm\red\fbox{\approx 129,5cm}

Les disques ficelés.

Posté par hervé (invité)courroie 19-11-05 à 21:37

perduJe trouve 123.4 cm.

Posté par TieOum (invité)re : Les disques ficelés.** 20-11-05 à 18:15

perduEn faisant un dessin rapide avec deux cercles identiques, on voit très bien comment faire.
Soit R1 et R2 avec R1 < R2 et O1 et O2 les centres des cercles. On trace les perpendiculaires à O1O2 passant respectivement par O1 et par O2. On appelle I1 et H1 du côté de O1 et I2 H2 du coté de O2.
Compte tenu de la symétrie du probléme, on a bien sûr I1H1 = I2H2

Alors on a Périmétre de la ficelle = pi.R2 + pi.R1 + I1H1 + I2H2 = pi.R2 + pi.R1 + 2*I1H1

Pour calculer I1H1, on utilise simplement le théroéme de pythagore.

I1H1² = (R1+R2)² + (R2-R1)² = 2.R1² + 2.R2²

I1H1 = racine(2.R1² + 2.R2²)

Et par conséquent, la formule du périmétre est : P = pi.R2 + pi.R1 + 2.racine(2.R1² + 2.R2²)

P = 258,1277103 cm

Arrondi au 10eme, j'obtient une longueur de ficelle de 258,1 cm.


Posté par
J-P Posteur d'énigmes
re : Les disques ficelés.** 21-11-05 à 09:51

Enigme clôturée.


Posté par
Nofutur2
re : Les disques ficelés.** 21-11-05 à 10:23

perduConfusion entre diamètre et rayon...(je trouve le double du résultat)... C'est ma bourde préférée..

Posté par
manpower
re : Les disques ficelés.** 21-11-05 à 12:19

gagnéBonjour,

il semblerait que geo3 ait été oublié, non ?

Posté par
J-P Posteur d'énigmes
re : Les disques ficelés.** 21-11-05 à 14:28

Oubli réparé, merci manpower.


Posté par zackary0 (invité)re : Les disques ficelés.** 21-11-05 à 19:15

gagnéC'était très simple, il suffisait d'utiliser les théorèmes de Thalès et Pythagore

Posté par zackary0 (invité)re : Les disques ficelés.** 21-11-05 à 22:06

gagnéC'était un problème de niveau 3^{eme}/2_{nde}

Challenge (énigme mathématique) terminé .
Nombre de participations : 0
:)0,00 %0,00 %:(
0 0

Temps de réponse moyen : 11:39:41.


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