Deux disques, l'un de diamètre 36 cm et l'autre de diamètre 12 cm sont tangents l'un à l'autre.
Une ficelle d'épaisseur négligeable et inextensible entoure les 2 disques, comme montré sur le dessin.
La ficelle est tendue.
Quelle est la longueur de la ficelle ?
Cette longueur sera exprimée en cm arrondie au dixième de cm le plus proche.
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Bonne chance à tous.
On a dans le triangle OO'B' :
O'B'2 = OO'2-OB'2 = (36+12)2-(36-12)2 = 4*36*12
O'B' =AB = 243.
cos (AOO') = (36-12)/(36+12) = 0,5
donc angle (AOO') = 60 °
arc AD = 2*pi*36*2/3
De même angle (AO'B) = 120°
Arc BC = 2*pi*12*1/3
La ficelle a donc pour longueur :
L = 2*24 3 + 2*pi* (24+4)= 259,0675
259,1 cm
avec la figure, on peut se ramener au cas de Talès suivant :
_______
( ! f / ] e=6 ; f=18 ; b-a=6+18=24
( ! / ]
b( !____/ ]d b/a=d/c=f/e
( ( ! e / ] ]
( a( ! / ]c ] d-c= ????
( ( ! / ] ]
( ( !/ ] ] a=eb/f=b-24 d'où b=24/(1-e/f)=36
d=(f²+b²)=2405
cf=de d'où c=ed/f
d-c=d*(1-e/f)=2(405)*4/6
26,8
donc la longueur de la ficelle vaut : L=(18+6)+2*(d-c)
L=24+53,6
L129,1 cm
Bonjour,
Réponse proposée : 129,5 cm (28pi+24V3)
Philoux
Bonjour ,
Je trouve que la longueur de la ficelle est d'environ 117 cm (116,9585618 cm )
(Je ne vais pas mettre toute la démonstration , mais j'ai utilisé Le théorème de Pythagore, calcul d'arcs et la formule de perimètre du cercle)
En espérant que ce soit juste
Bcracker
Merci pour l'énigme
Je n'ai pas vraiment le temps de vérifier mes calculs donc j'éspère ne pas avoir fait d'erreur!
Je trouve 129,5 cm
Bonjour, on fait la figure, on applique thalès et on trouve une longueur de 129,5 cm
merci pour l'énigme
Dans le cas général , en nommant le rayon du grand cercle et celui du petit, la longueur de la courroie vaut :
où
Dans notre cas on trouve ce qui conduit à une longueur de courroie égale à
Bonsoir !
Ma réponse est : 28 pi + 24 sqrt(3) = 129,5 cm
Bonjour
Soient A et B les points de contact des tangentes avec les 2 cercles de rayon 18 et de centreO et celui de centre O' et de rayon 6. L'intersection de AB avec OO' est un centre d'homothétie de rapport 3 qui applique le petit cercle de rayon 6 sur le grand. ON a co' = 12 CA/CB = 3 ; or CB = rac( 12² - 6²) = rac(108) =6.rac(3)=10.392305 et AC = rac(36² - 18²) =rac(972)=31.176915 =>AB = 20.78461. L'angle AOB est tel que 18 = 36.cos(AOB) => AOB = pi/3 = 1.071976. Arc AD = 2pi/3. 18 = 12p et arc BD' = pi/3.6 =2pi et la longueur de la ficelle = 2.( 12pi + 2pi + 20.78461) =129,5 cm.
A plus.
bonsoir,
la longueur de la ficelle tendue est de
ce qui arrondi au dixieme de mm le plus proche 129,53 mm
129,5 cm
merci pour cette enigme et a plus tard
Paulo
Soir r = 6 cm.
D'après Pythagore, La longueur de la ficelle tendue entre les cercles est : .
Le grand arc de cercle vaut :
Et le petit arc de cercle :
D'où la longueur de la ficelle : 129,5 cm
Bonjour,
Par définition de la tangente, les droites (OC) et (PB) sont parallèles (car toutes deux perpendiculaires à (BC)), ainsi d'après le théorème de Thalès dans le triangle COA, d'où x=PA=12cm..
On montre alors que les angles correspondants (donc égaux) vérifient donc valent .
Enfin, la longeur BC se calcule via Pythagore et une soustraction dans le même triangle COA. On a BC=AC-AB=.
Reste à sommer les différentes longueurs.
L'arc vert mesure , l'arc rouge et les deux segments jaunes (égaux) mesurent chacun .
Finalement, la longueur de la ficelle vaut .
Conclusion: Au dixième près, la longueur de ficelle mesure .
Merci pour l'énigme.
Bonjour,
Voyant les réponses me précédant si rapidement données (je pense pourtant m'être mis au pb dès qu'il a été donné par J-P), je me suis dit que la méthode "bourrine" que j'avais optée (recherche de l'équation cartésienne de la tgte commune) n'était pas la plus adéquate et qu'une méthode géométrique était plus immédiate.
En effet, dans le schéma joint ci-dessous, la tangente QQ' est perpenticulaire à OQ et O'Q' => les angles en O et O' sont égaux.
L'abscisse de P est obtenue par Thales : OP/R = O'P/R' = (OP+R+R')/R' => OP = R'(R+R')/(R-R') = 36
Dans O'Q'P : cosa=R'/O'P=...=> cosa = (R-R')/(R+R') = 1/2 => a=pi/3=60°
On peut faire le calcul de x assez rapidement : en traçant la parallèle de QQ' passant par O, on a OS=R-R'
Pythagore dans OSO' donne : x²+OS²=OO'² => x²=(R+R')²-(R-R')²=4RR' => x=2V(RR') soit x=2V(18.6)=12V3
Il reste à déterminer la longueur des arcs AQ et A'Q' : AQ=R(pi-a) et A'Q'=R'a soit AQ=12pi et A'Q'=2pi
Soit la longueur L=2(12pi+2pi+12V3) => L=28pi+24V3
Le problème me plaisant, j'ai voulu le complexifier :
J'ai éloigné les centres des deux cercles d'une distance D (D>R+R') et suis passé en coordonnées réduites en prenant comme unité le rayon R' du cercle C'; en posant le paramètre k=D/R' et la variable x=R/R', j'arrive à l'équation liant y=L(x)=L/R' à x=R/R' :
y = L(x) = 2[ pi.x - (x-1)arccos( (x-1)/k ) + V( k²-(x-1)² ) ]
Pour avoir le L réel, il ne rest plus qu'à le multiplier par R'; dont les courbes paramétrées (selon k) sont données ci-après.
Joli pb "à la J-P" : des maths dans la vie quotidienne...
Philoux
Bonjour,
Aprés quelques calculs, j ai déduit que la longuer du fil est 98.3cm
Bonjour, voici ma reponse :
Grâce à Thalès et Pythagore :
En faisant un dessin rapide avec deux cercles identiques, on voit très bien comment faire.
Soit R1 et R2 avec R1 < R2 et O1 et O2 les centres des cercles. On trace les perpendiculaires à O1O2 passant respectivement par O1 et par O2. On appelle I1 et H1 du côté de O1 et I2 H2 du coté de O2.
Compte tenu de la symétrie du probléme, on a bien sûr I1H1 = I2H2
Alors on a Périmétre de la ficelle = pi.R2 + pi.R1 + I1H1 + I2H2 = pi.R2 + pi.R1 + 2*I1H1
Pour calculer I1H1, on utilise simplement le théroéme de pythagore.
I1H1² = (R1+R2)² + (R2-R1)² = 2.R1² + 2.R2²
I1H1 = racine(2.R1² + 2.R2²)
Et par conséquent, la formule du périmétre est : P = pi.R2 + pi.R1 + 2.racine(2.R1² + 2.R2²)
P = 258,1277103 cm
Arrondi au 10eme, j'obtient une longueur de ficelle de 258,1 cm.
C'était très simple, il suffisait d'utiliser les théorèmes de Thalès et Pythagore
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