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Niveau maths sup
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Les droites sont des cercles

Posté par
Rio90000
13-09-21 à 00:21

Bonsoir,

J'ai terminé la première partie de mon DM mais je bloque réellement sur cet exercice et je n'ai pas eu le temps de le faire ce week-end car un autre exercice m'a pris énormément de temps. Alors, voilà l'énoncé :
Des points de C sont dits cocycliques s'ils appartiennent à un même cercle. On pose U={z ∈ C| |z|=1}.
Pour tous a, b,c,d ∈ C distincts, on appelle birapport de a, b, c et d le nombre complexe : [a, b,c,d]= (c −a)(d −b)/(d −a)(c −b).

1) Soient a, b,c,d ∈ C quatre points distincts avec a, b et c alignés. Montrer que les points a, b, c et d sont alignés si et
seulement si [a, b,c,d]∈R.

Ici, il s'agit de démontrer une équivalence.
Notons A, B, C et D les quatre points d'affixes respectives a, b, c et d. Supposons que les points a, b, c et d sont alignés. Montrons alors que [a,b,c,d] ∈ ℝ. Si a, b, c et d sont alignés alors il existe k, et k' réels tel que :
(BC) ⃗ = k(AC) ⃗
(BD) ⃗ = k(AD) ⃗
On a donc que c-b = k(c-a) et d-b = k'(d-a).
On a par conséquent :
[a, b, c, d] = ((c-a)(d-b))/((d-a)(c-b)) = ((c-a)k'(d-a))/((d-a)k(c-a)) = k'/k avec k, et k' réels  k'/k est donc un réel
Le birapport de a, b, c et d est donc un réel dans le cas où a, b, c et d sont alignés.
Réciproquement, supposons que [a, b, c, d] est un réel. Montrons alors que a, b, c et sont alignés.

Et je n'arrive pas à montrer cette implication.

2) Soient a, b,c,a′, b′,c′ ∈C avec a b′−ba′ pas égal à 0. Vérifier que le couple
(c b′−bc′/a b′−ba′, ac′−ca′/a b′−ba′) est solution du système
linéaire :
a x + b y = c
a′x + b′y = c′  d'inconnue (x , y )∈C².
J'ai réussi.
Et pour la suite je ne demande pas des réponses mais des pistes de réflexion.
3) Soient a, b,c ∈Ctrois points non alignés.
a) Écrire pour tout ω∈C la proposition : « ω est équidistant de a, b et c » sous la forme d'un système linéaire de deux équations d'inconnues ω et ω/.
b) En déduire que a, b et c sont cocycliques.
4) Soient a, b,c ∈Uet z ∈Cquatre points distincts. On note respectivement α, β et γdes racines carrées de a, b et c.
a) Montrer que pour tous u, v ∈U: u²−v² =2iuv Im(uv/), puis que : [a, b,c,z]= (Im(αbarreγ)/Im(βbarreγ) * (βbarrez −β)(αzbarre −αbarre)/|z −a|².
b) En déduire que [a, b,c,z]∈R si et seulement si z ∈U.
5) a) Montrer que pour tous a, b,c,d ∈ C distincts, λ∈C∗ et μ∈C: [λa +μ,λb +μ,λc +μ,λd +μ]=[a, b,c,d].
b) Soient a, b,c,d ∈C quatre points distincts avec a, b et c non alignés. Montrer que a, b, c et d sont cocycliques si
et seulement si [a, b,c,d]∈R.

Posté par
GBZM
re : Les droites sont des cercles 13-09-21 à 10:31

Bonjour,

Tu te compliques un peu la vie en introduisant A, B, C, D. Tu remarqueras que l'énoncé ne prend pas cette peine, il identifie points et éléments de \C.
Petit coup de pouce pour finir le 1 :

Puisque a,b,c sont alignés, \dfrac{c-a}{c-b} est réel. Comme le birapport [a,b,c,d] est réel ....

Posté par
Rio90000
re : Les droites sont des cercles 13-09-21 à 12:46

J'ai compléter votre phrase:
Puisque a,b,c sont alignés, \dfrac{c-a}{c-b} est réel. Comme le birapport [a,b,c,d] est réel alors (d-b)/(d-a) est obligatoirement un réel donc les points a,b,d sont alignés. Finalement, on peut donc dire que les point a, b, c et d sont alignés dans le cas où le birapport de a, b, c et d est un réel et que nous avons posé a, b et c alignés.

Nous venons de montrer (avec ce que j'avais écrit au préalable et ce que j'ai rajouté) que les points a, b, c et d  si et seulement si [a, b, c, d] ∈ ℝ.

Posté par
Rio90000
re : Les droites sont des cercles 13-09-21 à 12:47

J'ai réussi la question 2). En revanche, pour la question 3) je ne vois pas par où commencer.

Posté par
GBZM
re : Les droites sont des cercles 13-09-21 à 13:44

Ne sais tu pas écrire que w est équidistant de a et b sous forme d'une équation linéaire en w et \overline w ? C'est-à-dire, écrire l'équation de la médiatrice de a et b ?

Posté par
Rio90000
re : Les droites sont des cercles 13-09-21 à 20:05

Je suis vraiment perdu ;/

Posté par
verdurin
re : Les droites sont des cercles 13-09-21 à 20:27

Disons que \lvert \omega-a\rvert=\lvert \omega-b\rvert.

En élevant au carré on en déduit que :

(\omega-a)(\bar\omega-\bar a)=(\omega-b)(\bar\omega-\bar b)

et je te laisse continuer. . .

Posté par
Rio90000
re : Les droites sont des cercles 13-09-21 à 20:38

Je vais continuer mais j'ai une question le point c on le fait apparaître via une autre égalité ?

Posté par
verdurin
re : Les droites sont des cercles 13-09-21 à 20:54

Oui.
Par exemple  \lvert \omega-a\rvert=\lvert \omega-c\rvert.

Posté par
Rio90000
re : Les droites sont des cercles 13-09-21 à 22:53

J'ai donc écrit ça pour la 4)a)
Si ω est équidistant de a, b et c alors :
|ω-a| = |ω-b| et|ω-a| = |ω-c|
On élève au carré:
(w-a)(w/ -a/) = (w-b)(w/ -b/)
ww/ - wa/ -aw/ + aa/ =ww/ - wb/ -bw/ + bb/
w(-a/ + b/) + w/(-a/ + b/) +aa/ -bb/ = 0

On ait pareil pour|ω-a| = |ω-c|
w(-a/ + c/) + w/(-a/ + c/) +aa/ -cc/ = 0
Et la j'ai mon système ?



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