Bonsoir,

J'ai terminé la première partie de mon DM mais je bloque réellement sur cet exercice et je n'ai pas eu le temps de le faire ce week-end car un autre exercice m'a pris énormément de temps. Alors, voilà l'énoncé :
Des points de C sont dits cocycliques s'ils appartiennent à un même cercle. On pose U={z ∈ C| |z|=1}.
Pour tous a, b,c,d ∈ C distincts, on appelle birapport de a, b, c et d le nombre complexe : [a, b,c,d]= (c −a)(d −b)/(d −a)(c −b).

1) Soient a, b,c,d ∈ C quatre points distincts avec a, b et c alignés. Montrer que les points a, b, c et d sont alignés si et
seulement si [a, b,c,d]∈R.

Ici, il s'agit de démontrer une équivalence.
Notons A, B, C et D les quatre points d'affixes respectives a, b, c et d. Supposons que les points a, b, c et d sont alignés. Montrons alors que [a,b,c,d] ∈ ℝ. Si a, b, c et d sont alignés alors il existe k, et k' réels tel que :
(BC) ⃗ = k(AC) ⃗
(BD) ⃗ = k(AD) ⃗
On a donc que c-b = k(c-a) et d-b = k'(d-a).
On a par conséquent :
[a, b, c, d] = ((c-a)(d-b))/((d-a)(c-b)) = ((c-a)k'(d-a))/((d-a)k(c-a)) = k'/k avec k, et k' réels  k'/k est donc un réel
Le birapport de a, b, c et d est donc un réel dans le cas où a, b, c et d sont alignés.
Réciproquement, supposons que [a, b, c, d] est un réel. Montrons alors que a, b, c et sont alignés.

Et je n'arrive pas à montrer cette implication.

2) Soient a, b,c,a′, b′,c′ ∈C avec a b′−ba′ pas égal à 0. Vérifier que le couple
(c b′−bc′/a b′−ba′, ac′−ca′/a b′−ba′) est solution du système
linéaire :
a x + b y = c
a′x + b′y = c′  d'inconnue (x , y )∈C².
J'ai réussi.
Et pour la suite je ne demande pas des réponses mais des pistes de réflexion.
3) Soient a, b,c ∈Ctrois points non alignés.
a) Écrire pour tout ω∈C la proposition : « ω est équidistant de a, b et c » sous la forme d'un système linéaire de deux équations d'inconnues ω et ω/.
b) En déduire que a, b et c sont cocycliques.
4) Soient a, b,c ∈Uet z ∈Cquatre points distincts. On note respectivement α, β et γdes racines carrées de a, b et c.
a) Montrer que pour tous u, v ∈U: u²−v² =2iuv Im(uv/), puis que : [a, b,c,z]= (Im(αbarreγ)/Im(βbarreγ) * (βbarrez −β)(αzbarre −αbarre)/|z −a|².
b) En déduire que [a, b,c,z]∈R si et seulement si z ∈U.
5) a) Montrer que pour tous a, b,c,d ∈ C distincts, λ∈C∗ et μ∈C: [λa +μ,λb +μ,λc +μ,λd +μ]=[a, b,c,d].
b) Soient a, b,c,d ∈C quatre points distincts avec a, b et c non alignés. Montrer que a, b, c et d sont cocycliques si
et seulement si [a, b,c,d]∈R.