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Niveau Maths sup
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Les ensembles et les applications

Posté par
Mathes1
06-11-21 à 09:15

Bonjour à tous
J'ai un petit exercice merci beaucoup d'avance
*Soit l'application f : 22
2 définie comme suit :
f(x; y) = (x + y; xy)
1). Etudier l'injectivité de l'application f(x; y):
2). Etudier la surjectivité de l'application f(x; y):
1) on a f(1,0)=f(0,1)=(1,0)
Et (1,0)(0,1)
Donc f n'est pas injective

Une petite indication s'il vous plaît merci beaucoup d'avance

Posté par
malou Webmaster
re : Les ensembles et les applications 06-11-21 à 09:23

Bonjour

dans R, est-on toujours capable de trouver 2 réels connaissant leur somme et leur produit ?

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Les ensembles et les applications 06-11-21 à 09:23

Bonjour,
Une piste :
Partir de (a,b) dans 2 et chercher x et y vérifiant le système
x+y = a
xy = b
Tu peux séparer en deux cas : b = 0 ou b0.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Les ensembles et les applications 06-11-21 à 09:24

Rebonjour malou

Posté par
Mathes1
re : Les ensembles et les applications 06-11-21 à 09:49

Bonjour
Merci beaucoup à vous deux pour vos réponses
J'arrive à
\begin{cases} x+y=a \\ -x²+ax-b=0 \end{cases}
•delta de la seconde équations est
=a2-4b
Et on distingue les cas si >0 ou si ∆<0

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Les ensembles et les applications 06-11-21 à 10:01

Oui, en fait, séparer le cas b = 0 est inutile.
A ton avis que se passe-t-il si < 0 ?

Posté par
Mathes1
re : Les ensembles et les applications 06-11-21 à 10:07

D'accord
Si ∆<0<=> a2-4b<b <=> a2<4b <=>
|a|<2\sqrt{b} <=>
-2\sqrt{b}<a<2\sqrt{b}

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Les ensembles et les applications 06-11-21 à 10:24

Je précise ma question :
A ton avis que se passe-t-il pour x et y si < 0 ?

Posté par
Mathes1
re : Les ensembles et les applications 06-11-21 à 10:36

La seconde équations n'admet pas de solution
Donc f n'est pas surjective

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Les ensembles et les applications 06-11-21 à 10:50

Oui, donne un exemple précis de couple sans antécédent : (1,1) ou (1,2020) ou (0,1) ou ....
Tu as le choix !

Posté par
Mathes1
re : Les ensembles et les applications 06-11-21 à 10:55

Par exemple le couple (0,1) n'admet pas d'antécédents
x+y=0 et xy=1
x=-y et y2=-1 absurde !
Car l'application f est de R2R2

Merci beaucoup

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Les ensembles et les applications 06-11-21 à 11:03

De rien, et à une autre fois sur l'île \;



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