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Niveau Licence Maths 1e ann
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Les équations

Posté par
minou2000
19-01-17 à 16:42

Bonjour,

J'aimerais trouver le plus petit n tel que :

n^{10} \le 2^{(\log_{2}n )^{3} }\\ 9^{(\log_{2}n )^{5} } \le 3^{(\log_{2}n )^{3} }\\ 5^{n} \le n! \\ 100 n! \le n^{n} \\ 18n^{n^{2}} \le (n^{2})! \\ 200(n^{2})^{n^2} \le 2^{2^2^n}


Ma solution:

La première :
n^{10} \le 2^{(\log_{2}n )^{3} } :\\ \ln (n^{10}) \le \ln(2^{(\log_{2}n )^{3} }) \\ 10 \ln(n) \le \ln(2) (\log_{2}n )^{3} \\ 10 \ln(n) \le \frac{\ln(n)^{2}}{\ln(2)^2}\\ ln(n) \ge 10 \ln(2)^2 Donc \\ n \ge \exp ({10 \ln(2)^2})

La deuxième :

9^{(\log_{2}n )^{5} } \le 3^{(\log_{2}n )^{3} } : \\ ln(n) \ge \ln(2) \sqrt{\frac{\ln(9)}{\ln(3)}} Donc \\ \\ n \ge \exp (\ln(2) \sqrt{\frac{\ln(9)}{\ln(3)}} )

La troisième :

5^{n} \le n! \\ n \ln(5) \le \sum_{i=1}^{n}{\ln(i)} donc \\ \frac{ \sum_{i=1}^{n}{\ln(i)}}{n} \ge ln(5)

Après je ne sais pas !

La quatrième  :

100 n! \le n^{n} \\ ln(100)+\sum_{i=1}^{n}{i} \le nln(n)
Après je ne sais pas !

La cinquième :

18n^{n^{2}} \le (n^{2})! \\ n^{2} \ln(18n) \le \sum_{i=1}^{n^2}{i}
Après je ne sais pas !

La sixième :

200(n^{2})^{n^2} \le 2^{2^2^n} \\ n^{2} \ln(200n^2) \le 2^{2^n}\ln(2)

Après je ne sais pas !

Je ne sais pas si c'est juste ce que j'ai déjà fait

Je vous remercie pour votre aide et bonne journée

Posté par
carpediem
re : Les équations 19-01-17 à 17:01

salut

le premier faux (passage de la troisième à la quatrième ligne)

le deuxième : il serait peut-être bien de savoir que 9 est le carré de 3 ... et je ne vois aucune étape ...

le troisième : 5^n =< n!

il est évident que n > 5 ... il est aisé de penser que n n'est pas loin d'être proche de en gros environ 8 ou 9 ou 10 .... donc on essaie ...


le quatrième est faux : la somme ne porte pas sur i mais sur ln i

maintenant comme le précédent :10^2n! \le n^n ... <=> 2\ln 10 + \sum_1^n \ln i\le n \ln n

si n = 10 que valent les premier et second membre ? ... donc à nouveau on essaie ....

sinon on peut remarquer que 2 \ln 10 + \sum_1^n \ln i < 2 \ln 10 + \sum_1^n i 2 \ln 10 + \dfrac 1 2 n(n + 1) .... n \ln n permet d'avoir un majorant de n ... éventuellement

Posté par
carpediem
re : Les équations 19-01-17 à 17:04

salut

le premier faux (passage de la troisième à la quatrième ligne)

le deuxième : il serait peut-être bien de savoir que 9 est le carré de 3 ... et je ne vois aucune étape ...

le troisième : 5^n =< n!

il est évident que n > 5 ... il est aisé de penser que n n'est pas loin d'être proche de en gros environ 8 ou 9 ou 10 .... donc on essaie ...


le quatrième est faux : la somme ne porte pas sur i mais sur ln i

maintenant comme le précédent :10^2n! \le n^n ... <=> 2\ln 10 + \sum_1^n \ln i\le n \ln n

si n = 10 que valent les premier et second membre ? ... donc à nouveau on essaie ....

sinon on peut remarquer que 2 \ln 10 + \sum_1^n \ln i < 2 \ln 10 + \sum_1^n i {\red = } 2 \ln 10 + \dfrac 1 2 n(n + 1) .... n \ln n permet d'avoir un majorant de n ... éventuellement

Posté par
minou2000
re : Les équations 19-01-17 à 17:38

La troisieme : j'ai trouvé  n \ge 12
La quatrieme : n \ge 7
.....

Avez vous une idée sur la transformation de la cinquième et la sixième ?

Posté par
carpediem
re : Les équations 19-01-17 à 20:46

les transformations du 5/ et du 6/ sont fausses ...

18n^{n^2} \le (n^2)! <=> \ln 18 + n^2 \ln n \le \sum_1^{n^2} \ln k

mais je ne vois rien de bien évident ...



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