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Les équations et les inéquations du Second degré
Bonsoir, j'ai un DM de maths à faire pour vendredi, est-ce que vous pouvez m'aider s'il vous plait?
1.) Soit n un entier naturel non nul. Pour n=2, n=3 et n=4, factoriser x^n-a^n par x-a
2.) Conjecturer pour tout entier naturel n non nul une factorisation de x^n-a^n par x-a
3.) Démontrer cette conjecture
Pour la question 1 j'ai fait:
Pour n=2: x^2-a^2 (x-a) (x+a)
Pour n=3: x^3-a^3 (x^2-a)(x+a^2)
Pour n=4:x^4-a^4 (x^3-a)(x-a^3)
Sur la première ligne vous avez un polynôme que vous devez identifier avec celui de départ
le coefficient de x^3 des deux côtés est 1 donc pas de problème
pour les d'un côté, vous avez
et de l'autre
pour les d'un côté, vous avez
et de l'autre
pour les termes constants et
à résoudre
Non parce qu'un polynôme de degré 3 s'écrit
mais comme le coefficient de est 1 on va donc l'écrire
pour qu'il n'y ait pas de confusion avec le a
Vous voyez bien que pour 4 on va de 3 à 0 et prenant toutes les valeurs de
donc si on part de n-1 pour aller à 0 on passe bien par
mais comme on ne peut écrire toutes les valeurs il faut bien s'arrêter un moment
et repartir un peu plus tard à moins que vous ne vouliez une écriture avec
Pour la démontrer, n développe en montrant que le terme en x^{n-i}
provient de et de
ce qui fait que la somme est nulle
Si je ne me suis pas trompé
Si, on passe de à
pour les puissances de x
pour le second c'est au lieu de
Ou prenez l'exemple pour comme cela vous pourrez les écrire toutes
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