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Niveau Maths sup
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Les groupes MPSI

Posté par Profil Ramanujan 15-06-18 à 12:10

Bonjour,

C'est normal que je n'arrive pas à comprendre un seul mot de ce chapitre ? Même en relisant 50 fois, je comprends rien. C'est du chinois.
Juste la notion de sous groupe engendré j'ai jamais compris.

Alors que les chapitres nombres complexes, intégration, dérivation, matrices etc j'ai l'impression de tout comprendre.

Posté par
SkyMtn
re : Les groupes MPSI 15-06-18 à 12:34

Bonjour, que ne comprends tu pas exactement ?

Posté par
luzak
re : Les groupes MPSI 15-06-18 à 15:11

Un "groupe MPSI" je ne comprends pas non plus !
.........................................
"Sous groupe engendré" :  un groupe donné G et une partie A\subset G. On cherche le plus petit (au sens de l'inclusion) sous-groupe contenant la partie A.

Exemple : dans le groupe multiplicatif des complexes le groupe engendré par i est \{1,i,-i,-1\}.
Tu peux vérifier que c'est bien un groupe, qu'il contient  i et que si tu enlèves un seul élément ce n'est plus un groupe...

Posté par
carpediem
re : Les groupes MPSI 15-06-18 à 17:06

salut

Citation :
Alors que les chapitres nombres complexes, intégration, dérivation, matrices etc j'ai l'impression de tout comprendre.
une impression n'est pas un fait ...

Posté par Profil Ramanujanre : Les groupes MPSI 15-06-18 à 17:32

Salut Luzak intéressant ton exemple, au moins il est simple et me permettra peut être de comprendre.

Déjà qu'elle est la méthode pour trouver que le groupe engendré par i est \{1,i,-i,-1\} ?

Je dois prendre i et appliquer la puisaance n pour n entier ?

Comment on sait que c'est le plus petit au sens de l'inclusion ?

Pourquoi vous voulez lui enlever un élément ?

Ici on a : A=\{i \} et G=(\C,\times) et <A>=\{1,i,-i,-1\} ?

Posté par
SkyMtn
re : Les groupes MPSI 15-06-18 à 17:48

Si tu maîtrise un peu mieux l'algèbre linéaire (puisque tu as vu les matrices), fait la comparaison avec les espaces vectoriels engendrés par une partie : \mathrm{Vect}(A) = \{ \text{combinaisons linéaires d'éléments de }A\}.

Ici "combinaison linéaire" devient "combinaison" (au sens de la loi de groupe).
Amuses toi à établir que si G est un groupe (noté multiplicativement) :

\langle A \rangle = \bigcap_{A\subseteq H\text{ s.g. de } G} H = \{ a_0a_1\cdots a_n \:\vert\: n\in\N, a_i\in A\cup A^{-1}  \}A^{-1} désigne l'ensemble des inverses des éléments de A (attention les éléments de A ne commutent pas forcément).

Avec ce point de vue, tu comprendra pourquoi \langle i\rangle = \{1,i,-1,-i\} par exemple

Posté par
luzak
re : Les groupes MPSI 15-06-18 à 18:09

Oui, prendre les puissances successives de i te permettent de voir quels sont les éléments à mettre dans le groupe engendré.
Il y a des cas où ce sera un peu plus compliqué mais le principe est le même : le groupe engendré doit contenir les produits des éléments trouvés.

Pourquoi "enlever un élément" ? C'est un bon moyen de montrer que tout ce qui est "plus petit" ne convient pas !

Posté par Profil Ramanujanre : Les groupes MPSI 16-06-18 à 13:06

SkyMtn @ 15-06-2018 à 17:48

Si tu maîtrise un peu mieux l'algèbre linéaire (puisque tu as vu les matrices), fait la comparaison avec les espaces vectoriels engendrés par une partie : \mathrm{Vect}(A) = \{ \text{combinaisons linéaires d'éléments de }A\}.

Ici "combinaison linéaire" devient "combinaison" (au sens de la loi de groupe).
Amuses toi à établir que si G est un groupe (noté multiplicativement) :

\langle A \rangle = \bigcap_{A\subseteq H\text{ s.g. de } G} H = \{ a_0a_1\cdots a_n \:\vert\: n\in\N, a_i\in A\cup A^{-1}  \}A^{-1} désigne l'ensemble des inverses des éléments de A (attention les éléments de A ne commutent pas forcément).

Avec ce point de vue, tu comprendra pourquoi \langle i\rangle = \{1,i,-1,-i\} par exemple


J'ai absolument rien compris encore pire que dans les livres.

Posté par Profil Ramanujanre : Les groupes MPSI 16-06-18 à 13:23

Soit : <A>=\{1,i,-i,-1\}

Montrons que <A> est un groupe.

La loi X est associative : 1 \times i = i \times 1 = i par exemple, ça marche pour tous les éléments de <A>

Il y a un élément neutre qui est 1 : i \times 1 = 1 \times i = i

Tout élément admet un symétrique exemple :  i \times (-i)= 1
-i est l'inverse de i.

Donc <A> est un groupe.

Si on enlève un élément :

B=\{1,i,-i\}

Il faut montrer que B n'est plus un groupe.

J'arrive pas à trouver pourquoi si on enlève {-1} B n'est plus un groupe.

Posté par
SkyMtn
re : Les groupes MPSI 16-06-18 à 13:47

Ok... je tente autrement...

Dans un espace vectoriel engendré par une partie, tout les vecteurs de cet espace peuvent s'écrire comme une somme pondérée par des scalaires, de "vecteurs élémentaires" qui sont dans la partie qui engendre cet espace. Par exemple dans \R^3 ça peut être l'ensemble formé des triplets (1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)...

Ben pour les groupes, c'est la même idée, on veux créer un sous-groupe dont les éléments peuvent être exprimés par des produits (finis) d'éléments d'une certaine partie.

On se donne G un groupe quelconque, noté multiplicativement et de neutre 1.
On peut vérifier facilement qu'une intersection quelconque de sous-groupes de G reste un sous-groupe, en particulier quand on fait l'intersection de tous les sous-groupes qui contiennent une partie A\subseteq G est un sous-groupe, appelé le sous-groupe engendré par A -- il est noté \langle A\rangle et c'est le plus petit qui contient A.

L'inconvénient de cette définition est qu'elle ne décrit pas explicitement les éléments de ce sous-groupe.

Du coup, on appelle mot de A\subseteq G tout élément de G qui s'écrit a_0\cdots a_n avec les a_0,\ldots, a_n \in A.
Notons \text{Mots}(A) l'ensemble des mots de cette partie A.

En notant A^{-1} l'ensemble des inverses des éléments de A, on peut vérifier très facilement que le sous-groupe engendré par A est exactement \langle A\rangle = \text{Mots}(A\cup A^{-1}). (en exercice c'est pas compliqué !)

Dans l'exemple de \langle i\rangle comme i = i, -1 = ii, -i = iii et 1=iiii on a déjà listé tous les mots que l'on peut construire avec i, puisqu'on est revenu à l'unité, ainsi \langle i\rangle = \{1,i,-1,-i\}.

Si tu ne comprends rien, je m'en excuse mais je ne peux pas faire plus

Posté par
carpediem
re : Les groupes MPSI 16-06-18 à 13:55

franchement ça craint !!!

par définition un groupe est un ensemble (d'objets) muni d'une opération interne sur ces objets

sais-tu ce que signifie interne ?

Posté par
luzak
re : Les groupes MPSI 16-06-18 à 14:19

Citation :
Si on enlève un élément : B=\{1,i,-i\}
Il faut (non : on veut) montrer que B n'est plus un groupe.
J'arrive pas à trouver pourquoi si on enlève {-1} B n'est plus un groupe.

Que vaut le produit i\times i ? Ce produit doit être dans le groupe et il n'est pas dans B.

....................................
Ta réponse est par ailleurs très peu convaincante : tu confonds "associatif" et "commutatif" et tes "par exemple" ne font pas une démonstration.

Ce qui compte au préalable c'est la stabilité de H=\{1,-1,i,-i\} donc vérifier que tous les produits sont dans l'ensemble proposé.
L'associativité est héritée de celle du groupe multiplicatif des complexes : il n'y a rien à démontrer.
De même 1 est neutre pour le produit des complexes : il n'y pas lieu de le démontrer.

Chaque élément doit avoir un inverse (symétrique, si tu veux) et il faut écrire toutes les relations (pour le neutre c'est inutile) : (-1)(-1)=1,\;i\times(-i)=(-i)\times i=1 (le produit dans H est commutatif : héritage du groupe des complexes non nuls).
Autre façon de procéder : tout complexe non nul a un inverse pour la multiplication et il suffit de vérifier que l'inverse (dans \C^*) de tout élément de H est aussi dans H.

Bref, il suffit (et faut) savoir ce que veut dire "sous-groupe".

Posté par Profil Ramanujanre : Les groupes MPSI 16-06-18 à 18:51

@Sky

Je viens de comprendre l'histoire des mots, mais c'est la notation bizarre :
a_0,....,a_n que je capte pas.

C'est pas plutôt : a_0 \times .... \times a_n dans le groupe (\C ,\times) ?

Posté par Profil Ramanujanre : Les groupes MPSI 16-06-18 à 18:53

carpediem @ 16-06-2018 à 13:55

franchement ça craint !!!

par définition un groupe est un ensemble (d'objets) muni d'une opération interne sur ces objets

sais-tu ce que signifie interne ?


Oui une loi interne je sais ce que c'est. Exemple la loi + dans \R. Si on additionne 2 réels on reste dans \R

Posté par
SkyMtn
re : Les groupes MPSI 16-06-18 à 18:56

J'écris les opérations en concaténant, mais si tu préfères des symboles tu peux écrire a_0*a_1*\cdots * a_n à la place; ou en l'occurrence a_0\times a_1\times \cdots \times a_n pour les complexes, mais ça importe peu

Posté par Profil Ramanujanre : Les groupes MPSI 16-06-18 à 18:59

@Luzak

D'accord. J'avais pas compris la nuance dans la définition que l'inverse doit appartenir à H.

H=\{1,-1,i,-i\}

1 \times (-1) = -1 \in H
1 \times i = i \in H
etc...

Si je prends H' auquel j'enlève un élément :
H'=\{1,i,-i\}
 i \times (-i)=1
(-i) \times i = 1

Je comprends pas pourquoi H' n'est plus un groupe je trouve pas de contre exemple.

Posté par
carpediem
re : Les groupes MPSI 16-06-18 à 20:09

alors tu ne sais pas ce qu'est une loi interne ...

si A = {1, i, -i} que penses-tu du produit i * i ?

Posté par Profil Ramanujanre : Les groupes MPSI 16-06-18 à 20:52

Ah oui j'avais pas pensé : i \times i = i^2 = -1  \notin H

Sinon j'ai une question : comment trouver le sous espace engendré par :

Dans (S_4 , o)

c=(1  \ 2  \ 3  \ 4 )

Posté par
carpediem
re : Les groupes MPSI 16-06-18 à 20:53

salut

c^0, c^1 = c, c^2 = c o c, c^3 = c o c o c, ... c^n ...

sachant que le groupe est fini ...

Posté par Profil Ramanujanre : Les groupes MPSI 16-06-18 à 23:01

c^0 = id

c^2 = (1  \ 2  \ 3  \ 4 ) o (1  \ 2  \ 3  \ 4 ) = (1  \ 2  \ 3  \ 4 ) = c

On s'arrêt quand ?

Posté par
SkyMtn
re : Les groupes MPSI 17-06-18 à 00:23

S'il s'agit de l'identité, le groupe engendré est \{\mathrm{id}\}

Posté par Profil Ramanujanre : Les groupes MPSI 17-06-18 à 01:41

J'ai déjà 2 éléments : \{\mathrm{id}\}    \{\mathrm{(1  \ 2  \ 3  \ 4 )}\}

Maintenant :

\begin{pmatrix}
 \\    1 & 2 & 3 & 4 \\
 \\    2 & 1  & 4 & 3 \\
 \\    1 & 2  & 3 & 4 \\
 \\    2 & 1  & 4 & 3
 \\ \end{pmatrix}

c^3 = (2  \ 1  \ 4  \ 3) j'ai mon troisième élément.

Comment savoir quand s'arrêter ?

Posté par
SkyMtn
re : Les groupes MPSI 17-06-18 à 02:03

Pardon c'est un cyclé   Puisque c'est un 4-cycle tu sais que c^4 = \mathrm{id} du coup tu calcule les puissances successives, tu obtiendra l'identité, ton cycle, son inverse et deux transpositions. Tu justifies ensuite qu'ils forment un groupe (il y a cinq éléments ça devrait aller vite puisque on vérifie juste l'inversibilité) et ça suffit.

Posté par
carpediem
re : Les groupes MPSI 17-06-18 à 09:07

Ramanujan : à nouveau ton post de 1h41 montre que tu ne sais pas ce que signifie la notation de base (1 2 3 4)

si s = (1 2 3 4)

s(1) =
s(2) =
s(3) =
s(4) =

s o s(1) =
s o s(2) =
s o s(3) =
s o s(4) =

...

Posté par
luzak
re : Les groupes MPSI 17-06-18 à 09:15

@ Ramanujan

Citation :

1 \times (-1) = -1 \in H
1 \times i = i \in H
etc...

C'est "perdre du temps" : il n'y rien à vérifier pour le neutre 1 !

@SkyMtn
Si c^4 est l'identité l'inversibilité des c^k,\;0\leqslant k\leqslant4 est évidente, il n'y aucune vérification à faire.

Posté par Profil Ramanujanre : Les groupes MPSI 17-06-18 à 13:30

@carpe

s = (1 2 3 4)

s(1) = 2
s(2) = 3
s(3) = 4
s(4) = 1

s o s(1) = s(2)= 3
s o s(2) =  s(3) = 4
s o s(3) =  s(4) = 1
s o s(4) = s( 1) = 2

Donc s o s = s^2 = (3 4 1 2)

C'est correct ?

Posté par Profil Ramanujanre : Les groupes MPSI 17-06-18 à 13:39

@Sky

Pourquoi vous parlez de transposition ?

Posté par
carpediem
re : Les groupes MPSI 17-06-18 à 13:43

oui ...

continue avec s o s o s et s o s o s o s ...



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