Bonjour,
C'est normal que je n'arrive pas à comprendre un seul mot de ce chapitre ? Même en relisant 50 fois, je comprends rien. C'est du chinois.
Juste la notion de sous groupe engendré j'ai jamais compris.
Alors que les chapitres nombres complexes, intégration, dérivation, matrices etc j'ai l'impression de tout comprendre.
Un "groupe MPSI" je ne comprends pas non plus !
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"Sous groupe engendré" : un groupe donné et une partie . On cherche le plus petit (au sens de l'inclusion) sous-groupe contenant la partie .
Exemple : dans le groupe multiplicatif des complexes le groupe engendré par est .
Tu peux vérifier que c'est bien un groupe, qu'il contient et que si tu enlèves un seul élément ce n'est plus un groupe...
salut
Salut Luzak intéressant ton exemple, au moins il est simple et me permettra peut être de comprendre.
Déjà qu'elle est la méthode pour trouver que le groupe engendré par est ?
Je dois prendre i et appliquer la puisaance n pour n entier ?
Comment on sait que c'est le plus petit au sens de l'inclusion ?
Pourquoi vous voulez lui enlever un élément ?
Ici on a : et et ?
Si tu maîtrise un peu mieux l'algèbre linéaire (puisque tu as vu les matrices), fait la comparaison avec les espaces vectoriels engendrés par une partie : .
Ici "combinaison linéaire" devient "combinaison" (au sens de la loi de groupe).
Amuses toi à établir que si G est un groupe (noté multiplicativement) :
où désigne l'ensemble des inverses des éléments de (attention les éléments de ne commutent pas forcément).
Avec ce point de vue, tu comprendra pourquoi par exemple
Oui, prendre les puissances successives de te permettent de voir quels sont les éléments à mettre dans le groupe engendré.
Il y a des cas où ce sera un peu plus compliqué mais le principe est le même : le groupe engendré doit contenir les produits des éléments trouvés.
Pourquoi "enlever un élément" ? C'est un bon moyen de montrer que tout ce qui est "plus petit" ne convient pas !
Soit :
Montrons que <A> est un groupe.
La loi X est associative : par exemple, ça marche pour tous les éléments de <A>
Il y a un élément neutre qui est 1 :
Tout élément admet un symétrique exemple :
-i est l'inverse de i.
Donc <A> est un groupe.
Si on enlève un élément :
Il faut montrer que B n'est plus un groupe.
J'arrive pas à trouver pourquoi si on enlève {-1} B n'est plus un groupe.
Ok... je tente autrement...
Dans un espace vectoriel engendré par une partie, tout les vecteurs de cet espace peuvent s'écrire comme une somme pondérée par des scalaires, de "vecteurs élémentaires" qui sont dans la partie qui engendre cet espace. Par exemple dans ça peut être l'ensemble formé des triplets ...
Ben pour les groupes, c'est la même idée, on veux créer un sous-groupe dont les éléments peuvent être exprimés par des produits (finis) d'éléments d'une certaine partie.
On se donne un groupe quelconque, noté multiplicativement et de neutre 1.
On peut vérifier facilement qu'une intersection quelconque de sous-groupes de reste un sous-groupe, en particulier quand on fait l'intersection de tous les sous-groupes qui contiennent une partie est un sous-groupe, appelé le sous-groupe engendré par -- il est noté et c'est le plus petit qui contient .
L'inconvénient de cette définition est qu'elle ne décrit pas explicitement les éléments de ce sous-groupe.
Du coup, on appelle mot de tout élément de qui s'écrit avec les .
Notons l'ensemble des mots de cette partie .
En notant l'ensemble des inverses des éléments de , on peut vérifier très facilement que le sous-groupe engendré par est exactement . (en exercice c'est pas compliqué !)
Dans l'exemple de comme et on a déjà listé tous les mots que l'on peut construire avec , puisqu'on est revenu à l'unité, ainsi .
Si tu ne comprends rien, je m'en excuse mais je ne peux pas faire plus
franchement ça craint !!!
par définition un groupe est un ensemble (d'objets) muni d'une opération interne sur ces objets
sais-tu ce que signifie interne ?
@Sky
Je viens de comprendre l'histoire des mots, mais c'est la notation bizarre :
que je capte pas.
C'est pas plutôt : dans le groupe ?
J'écris les opérations en concaténant, mais si tu préfères des symboles tu peux écrire à la place; ou en l'occurrence pour les complexes, mais ça importe peu
@Luzak
D'accord. J'avais pas compris la nuance dans la définition que l'inverse doit appartenir à H.
etc...
Si je prends H' auquel j'enlève un élément :
Je comprends pas pourquoi H' n'est plus un groupe je trouve pas de contre exemple.
alors tu ne sais pas ce qu'est une loi interne ...
si A = {1, i, -i} que penses-tu du produit i * i ?
Ah oui j'avais pas pensé :
Sinon j'ai une question : comment trouver le sous espace engendré par :
Dans
Pardon c'est un cyclé Puisque c'est un 4-cycle tu sais que du coup tu calcule les puissances successives, tu obtiendra l'identité, ton cycle, son inverse et deux transpositions. Tu justifies ensuite qu'ils forment un groupe (il y a cinq éléments ça devrait aller vite puisque on vérifie juste l'inversibilité) et ça suffit.
Ramanujan : à nouveau ton post de 1h41 montre que tu ne sais pas ce que signifie la notation de base (1 2 3 4)
si s = (1 2 3 4)
s(1) =
s(2) =
s(3) =
s(4) =
s o s(1) =
s o s(2) =
s o s(3) =
s o s(4) =
...
@ Ramanujan
@carpe
s = (1 2 3 4)
s(1) = 2
s(2) = 3
s(3) = 4
s(4) = 1
s o s(1) = s(2)= 3
s o s(2) = s(3) = 4
s o s(3) = s(4) = 1
s o s(4) = s( 1) = 2
Donc s o s = s^2 = (3 4 1 2)
C'est correct ?
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