Bonjour, ça s'appelle l'Inégalité arithmético-géométrique (I.A.G)
tu trouveras des démonstrations sur internet, notamment à partir de l'inégalité de Jensen appliquée à la fonction logarithme népérien.
Moi celle que je préfère car autonome et assez originale c'est la suivante :

on veut donc démontrer que [(a₁ + a₂ + ..........

+ a_m)/m]^m a₁a₂...a_m

On effectue une suite d'opérations qui laissent le membre de gauche invariant mais qui va augmenter le membre de droite. Tout d'abord on appelle a la moyenne arithmétique des a_n, c.a.d a = (a₁ + a₂ + ..........

+ a_m)/m

Si tous les a_k ne sont pas égaux (s'ils le sont l'inégalité est vérifiée parce que les deux membres sont égaux) alors il y a des a_k plus petits que la moyenne et des a_k plus grands (parce que s'ils étaient tous plus petits ou tous plus grands, leur moyenne de pourrait pas être a). Donc on peut trouver i et j tels que
a_i < a < a_j.
Voici la transformation : on remplace a_i par a'_i = a
et a_j par a'_j = a_i+a_j-a
cette opération laisse inchangé le membre de gauche parce que a'_i+a'_j = a + a_i+a_j-a = a_i+a_j
Par contre ça augmente le membre de droite parce que :
a'_ia'_j = a(a_i+a_j-a) = a_ia_j+(a_j-a)(a-a_i) > a_ia_j

Par cette transformation, le nombre de a_k égaux à a a augmenté d'une unité.
on ne pourra donc pas la répéter indéfiniment. On doit s'arrêter quand tous les a_k sont égaux et dans ce cas on a égalité.
Comme le membre de droite a augmenté constamment c'est qu'au début il était plus petit et donc on a notre inégalité.

Sympa non comme démonstration ?