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Les intégrales généralisées

Posté par
Hugo130 17-06-19 à 12:58

Bonjour,

J'ai du mal à comprendre la rédaction de la correction d'un exercice sur les intégrales généralisées. J'ai obtenu les bonnes conclusions, à savoir dire si les intégrales sont convergentes ou divergentes, cependant, j'aimerai avoir quelques précisions sur la façon dont les résultats sont présentés.

Enoncé : Parmi les intégrales généralisées suivantes, dire en justifiant lesquelles sont convergentes :

1) \int_{0}^{1}{\frac{t+1}{\sqrt{t}}dt}

2) \int_{0}^{+\infty }{\frac{sin(t^{3})}{t^{\frac{3}{2}}}dt}

3) \int_{1}^{+\infty }{\frac{e^{it}}{t^{\frac{3}{2}}}dt}

Correction :

1) La fonction sous l'intégrale est positive et au voisinage de zéro on a \frac{t+1}{\sqrt{t}}\sim \frac{1}{\sqrt{t}}. Donc comme \int_{0}^{1}{\frac{1}{\sqrt{t}}dt} converge, l'intégrale considérée est convergente.

2) Ici, l'intégrande n'est pas positive, ceci dit, on a : \mid \frac{sin(t^{3})}{t^{\frac{3}{2}}}\mid \leq \frac{1}{t^{\frac{3}{2}}}. On sait également que \int_{1}^{+\infty }\frac{1}{t^{\frac{3}{2}}} dt converge, ainsi, l'intégrale considérée est absolument convergente, donc convergente.

3) On a \mid \frac{e^{it}}{t^{\frac{3}{2}}}\mid = \frac{1}{t\frac{3}{2}} et on sait que \int_{1}^{+\infty }\frac{1}{t^{\frac{3}{2}}}dt est convergente. Ainsi, l'intégrale considérée est absolument convergente donc convergente.


Mes questions :

1) Quelles sont les différences entre le critère de comparaison et d'équivalence, dans quels cas devons-nous les utiliser ? Comment sait-on donc lorsque qu'on doit mettre un =, \leq ou \sim entre les deux expressions ?

2 Comment sait-on si une intégrande est positive ou non pour y ajouter les barres absolues \mid ...\mid comme dans la 2ème et 3ème question ?

Je vous remerci d'avance pour votre aide.

Posté par
jsvdbre : Les intégrales généralisées 17-06-19 à 13:16

Citation :
2 Comment sait-on si une intégrande est positive ou non pour y ajouter les barres absolues \mid ...\mid comme dans la 2ème et 3ème question ?

Niveau première : en étudiant le signe de l'intégrande.

Posté par
jsvdbre : Les intégrales généralisées 17-06-19 à 13:30

Citation :
1) Quelles sont les différences entre le critère de comparaison et d'équivalence, dans quels cas devons-nous les utiliser ? Comment sait-on donc lorsque qu'on doit mettre un =, \leq ou \sim entre les deux expressions ?


*
On met un "=" quand les termes qui sont de part et d'autre de l'égalité peuvent être manipulés de façon équivalentes. Tout résultat sur l'un sera valide sur l'autre et réciproquement (c'est un peu ambiguë comme phrase et elle nécessiterait un peu d'être clarifié)

En général, on ne définit pas la relation d'égalité mathématique dans le supérieur en pensant que c'est quelque chose d'acquis. A mon sens c'est un tort.
(Et à cette dernière assertion certains me rétorqueront que la notion d'égalité, on s'en moque, la notion d'isomorphie lui étant nettement supérieur au point de l'éclipser ... ça se défend ! Je suis d'accord avec le "nettement supérieur", mais pas trop avec le "au point de l'éclipser")

*
On met un "" si on peut placer une relation d'ordre entre deux termes considérés.

*
On met un "~" si on peut placer une relation d'équivalence entre les deux termes considérés.

Le tout est d'avoir correctement défini les relations d'ordre et d'équivalence.

Posté par
luzakre : Les intégrales généralisées 17-06-19 à 15:48

Bonjour !
Pour la 2) ta réponse n'est pas correcte : le dénominateur s'annule en 0.


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