Bonjour,

Supposons et avec alors plus x se rapproche de a plus f(x) tend vers et simultanément ? Ce qui est impossible, une fonction ayant une seule image

La démonstration pur et dure est bien plus complexe et pas du niveau terminale, quelle est la définition de la limite que l'on ta donné dans ton cours?

lim_xa f(x)= L  (>0)(>o)(xD_f) :
0< |x-a|< |f(x)-L|<

Bonjour Cornelia,
Par définition on a:
Soit f une fonction admettant L comme limite au point a ()()(xDf):|x-a|<|f(x)-L|<.
Maintenant, supposons que f admette deux limites L₁ et L₂ comme limites.
Alors, on a:
()()(xDf):|x-a|<|f(x)-L₁|<.
()()(xDf):|x-a|<|f(x)-L2|<.
Et |L₁-L₂|=|L₁-L₂+f(x)-f(x)|=|f(x)-L₂-f(x)+L₁||f(x)-L₁|+|f(x)-L₂|
(par l'inégalité triangulaire).  Donc, on a: |L₁-L₂||f(x)-L₁|+|f(x)-L₂|<+=2.
Donc: |L₁-L₂|<2L₁-L₂0; c'est à dire L₁=L₂.