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les limites d'une suite

Posté par
Nulenmaths14
02-11-19 à 17:17

Bonjour, j'ai un devoir à faire et je bloque sur l'exercice, si quelqu'un pouvais m'aider je suis toute oui:
Soit a > 0 un réel
1. soit f la fonction définie pour tout réel x >0 par f(x) = 1/2(x+a/x)
a. montrez que f( √a) = √a
b. justifier que f est dérivable sur ]0;+\infty [ et montrer que pour tout réel x> 0  on a :
f'(x) = 1/2 ( 1+√a/x) ( 1- √a/x)
c. en déduire le tableau de signes de l'expression f'(x)  puis le tableau de variations de la fonction f
2. soit (Un) la fonction définie par:
U1 = f(1) et pour tout entier naturel non nul n : Un+1 = f(Un)
a. montrer par récurrence que pour tout entier naturel non nul on a : √a ⩽Un
b. en deduire que pour tout entier naturel non nul on a: Un+1 -√a ⩽ 1/2(Un-√a )
c. en deduirepar récurrence que pour tout entier naturel non nul on a :
Un-√a ⩽ (1/2)^n-1 x (U1-√a )
d. en deduire la limie de la suite (Un)




Posté par
gerreba
re : les limites d'une suite 02-11-19 à 17:20

Bonjour,
Tu n'as pas démarré l'exercice ?

Posté par
Nulenmaths14
re : les limites d'une suite 02-11-19 à 17:27

j'ai essayer de répondre à lapremiere question est je bloque déja je ne comprend pas comment passer d'une fonction a un réel sachant qu'n ne connais que f(x) et non f(√a)

Posté par
gerreba
re : les limites d'une suite 02-11-19 à 17:30

Tu remplaces x par Va pour calculer f(Va).Rien de nouveau.

Posté par
Nulenmaths14
re : les limites d'une suite 02-11-19 à 17:45

j'obtient a/4
j'ai développer j'ai obtenue  √a/2 + a/2√a
j'ai mis au même dénominateur et simplifier ce qui est a barrer

Posté par
gerreba
re : les limites d'une suite 02-11-19 à 17:49

a/(2Va)=(Va)²/(2Va)=Va/2  Oui ?

Posté par
Nulenmaths14
re : les limites d'une suite 02-11-19 à 17:59

euh je ne vois pas comment vous obtenez ceci : j'ai fais
f(√a) = / ( √a + a/√a)
= √a/2+ a/2√a
= √a+√a/ ( 2x2√a)
=a/4
je ne comprend pas mon erreur

Posté par
gerreba
re : les limites d'une suite 02-11-19 à 18:48

f(x)=(x+a/x)/2   donc f(Va)=(Va+a/Va)/2   Alors ?

Posté par
Nulenmaths14
re : les limites d'une suite 02-11-19 à 18:57

je suis désoler je bloque sur la fraction ...

Posté par
gerreba
re : les limites d'une suite 02-11-19 à 19:00

a/Va=(Va)²/va=Va D'accord ?

Posté par
Nulenmaths14
re : les limites d'une suite 02-11-19 à 19:04

euh non a/√a ca fais √a?

Posté par
gerreba
re : les limites d'une suite 02-11-19 à 19:06

Oui.

Posté par
Nulenmaths14
re : les limites d'une suite 02-11-19 à 19:07

aah c'est bon jai compris donc oui

Posté par
gerreba
re : les limites d'une suite 02-11-19 à 19:09

Enfin !

Posté par
Nulenmaths14
re : les limites d'une suite 02-11-19 à 19:10

donc √a + √a /2 = √a

Posté par
Nulenmaths14
re : les limites d'une suite 02-11-19 à 19:12

par contre la b. le dérivable me perturbe

Posté par
gerreba
re : les limites d'une suite 02-11-19 à 19:21

g(x)=x est dérivable sur R comme tout polynôme.
h(x)=a/x est dérivable sur le intervalles ne contenant pas 0 donc sur ]0;+l'infini[

Posté par
Nulenmaths14
re : les limites d'une suite 02-11-19 à 19:28

ouid d'accord mais comment je démontre que f est dérivable sur cette intervalle

Posté par
gerreba
re : les limites d'une suite 02-11-19 à 19:30

Ce sont des résultats généraux que les élèves peuvent utiliser.

Posté par
Nulenmaths14
re : les limites d'une suite 02-11-19 à 19:33

je ne comprend pas votre remarque

Posté par
gerreba
re : les limites d'une suite 02-11-19 à 19:46

Tu dois avoir un cours sur les dérivées ?

Posté par
Nulenmaths14
re : les limites d'une suite 02-11-19 à 19:50

non je n'ai que sur la convergence et la divergence d'une suite ainsi que les théromes d'une limite de suite

Posté par
gerreba
re : les limites d'une suite 02-11-19 à 19:59

Alors tu admets les résultats indiqués
plus haut.

Posté par
Nulenmaths14
re : les limites d'une suite 02-11-19 à 20:01

donc la question b c'est juste ca?

Posté par
gerreba
re : les limites d'une suite 02-11-19 à 20:06

Oui
Résultats généraux sur les dérivées.

Posté par
Nulenmaths14
re : les limites d'une suite 02-11-19 à 20:08

d'accord et pour la deuxieme partie, Récurrence?

Posté par
gerreba
re : les limites d'une suite 02-11-19 à 20:13

Tu n'as pas précisé le signe de f'(x) ?

Posté par
Nulenmaths14
re : les limites d'une suite 02-11-19 à 20:15

Pour la premiere partie de la question?

Posté par
gerreba
re : les limites d'une suite 02-11-19 à 20:16

Oui.

Posté par
Nulenmaths14
re : les limites d'une suite 02-11-19 à 20:19

positif parce qu'elle dérive dans un intervale positif?

Posté par
gerreba
re : les limites d'une suite 02-11-19 à 20:21

Non pas du tout.On dirait que tu n'as pas vu grand chose en dérivation.

Posté par
Nulenmaths14
re : les limites d'une suite 02-11-19 à 20:22

pour etre honnête  je n'ai rien vu sur la dérivation...

Posté par
gerreba
re : les limites d'une suite 02-11-19 à 20:32

Je ne peux pas sur ce site faire un cours.Ce n'est pas le but ici...

Posté par
Nulenmaths14
re : les limites d'une suite 02-11-19 à 20:35

je le sais bien et l'intention me touche je vais essayer de faire quelque recherche la dessus
si je comprend bien la fonction n'est pas positif ou négatif a cause de l'intervale?

Posté par
gerreba
re : les limites d'une suite 02-11-19 à 20:41

Si la dérivée est positive sur un intervalle
la fonction f est croissante sur cet intervalle.
Si la dérivée est négative la fonction  est
décroissante...

Posté par
Nulenmaths14
re : les limites d'une suite 02-11-19 à 20:44

la dérivée est positive sur l'intervalle donc la fonction f est croissante ?

Posté par
gerreba
re : les limites d'une suite 02-11-19 à 20:50

En fait le signe de f' est négatif entre 0 et
Va puis positif pour x Supérieur à Va

Posté par
Nulenmaths14
re : les limites d'une suite 02-11-19 à 20:53

aah je comprend mieux vous déduisez ca grace a l'intervalle aussi?

Posté par
gerreba
re : les limites d'une suite 02-11-19 à 20:54

Précise ta pensée.

Posté par
Nulenmaths14
re : les limites d'une suite 02-11-19 à 20:57

oui j'ai compris comment vous avez trouver ca c'est juste que j'ai du mal a expliquer je saurais faire pour répondre . pour la deuxieme parti c'estdonc une récurrence?

Posté par
gerreba
re : les limites d'une suite 02-11-19 à 21:04

U1=f(?)

Posté par
Nulenmaths14
re : les limites d'une suite 02-11-19 à 21:06

u1= f(u1)

Posté par
gerreba
re : les limites d'une suite 02-11-19 à 21:08

C'est ton texte ?

Posté par
Nulenmaths14
re : les limites d'une suite 02-11-19 à 21:10

ma rédaction tu veux dire?

Posté par
gerreba
re : les limites d'une suite 02-11-19 à 21:13

Tu es sûre pour U1=f(U1) ?

Posté par
Nulenmaths14
re : les limites d'une suite 02-11-19 à 21:15

euh plus maintenant U1=f'(U1)?

Posté par
gerreba
re : les limites d'une suite 02-11-19 à 22:07

On ne connaît pas U1 alors ?

Posté par
Nulenmaths14
re : les limites d'une suite 02-11-19 à 22:13

u1 = 1/2(1+a/1)?

Posté par
gerreba
re : les limites d'une suite 02-11-19 à 23:43

Oui,d'accord.
Pour initialiser la récurrence avec n=1,il faut justifier que Va<=U1  Alors ?

Posté par
Nulenmaths14
re : les limites d'une suite 03-11-19 à 11:22

Mais je trouve pas quoi faire apres (1+a/1)/2

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