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Les maths?moi j adore...quoi que..
Soit f(x)=x+cos²x Df=R
C sa courbe représentative en repère orthonormal
1)a. Démontrer que pour tou réel x, x<ou=f(x)<ou=x+1
b. En déduire les limites de f en -linfini et en +linfini
c. Interpéter graphiquemen l'encadrement précédent
2)On note D1 et D2 les droites d'équation y=x et y=x+1
Déterminer les coordonnées des points d'intersection de la courbe C avec:
a. la droite D1 b.la droite D2
3)a.Déterminer la fonction dérivée de f.Montrer que pour tou réel x, f'(x)=1-2sinx
b.En déduire le sens de variation de f
c.Résoudre ds R l'équation f'(x)=0
4)a.Dresser le tableau de variation de f sur [0;pi]
b.Tracer la courbe D1, D2 et la courbe représentant f sur [0;pi]
5)a.Démonter que pour tou réel x, f(x+pi)=f(x)+pi
b.Commen déduit-on la courbe C de la représentation de f sur [0;pi]?
Ca serait gentil si vous pouviez maider, meme pour une seule question.
Merci d'avance
1)
a)
-1 <= cos(x) <= 1
-> cos²(x) <= 1
et cos²(x) >= 0 (à cause du carré) ->
0 <= cos²(x) <= 1
x <= x + cos²(x) <= x + 1
x <= f(x) <= x + 1
b)
lim(x->oo) x <= lim(x->oo) f(x) <= lim(x->oo) (x + 1)
oo <= lim(x->oo) f(x) <= oo
-> lim(x->oo) f(x) = oo
lim(x->-oo) x <= lim(x->-oo) f(x) <= lim(x->-oo) (x + 1)
-oo <= lim(x->-oo) f(x) <= -oo
lim(x->-oo) f(x) = -oo
----------
2)
a)
C et D1:
x+cos²x = x
cos²x = 0
cos(x) = 0
x = Pi/2 + k.Pi avec k entier négatif, nul ou positif.
---
b)
C et D2:
x+cos²x = x + 1
cos²x = 1
cos(x) = +/- 1
x = k.Pi avec k entier négatif, nul ou positif.
----------
3)
a)
f '(x) = 1 - 2.cos(x).sin(x)
f '(x) = 1 - sin(2x)
b et c)
comme -1 <= sin(2x) <= 1
f '(x) >= 0
f '(x) = 0 pour sin(2x) = 1 -> 2x = Pi/2 + 2kPi -> x = Pi/4 +
k.Pi avec k entier négatif, nul ou positif.
-> f(x) est croissante.
-------
4)
a)
f'(x) > 0 pour x dans [0 ; Pi/4[ -> f(x) croissante.
f'(x) = 0 pour x = Pi/4
f'(x) > 0 pour x dans ]Pi/4 ; Pi] -> f(x) croissante.
b)
Dessin pour toi.
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5)
a)
f(x + Pi) = x + Pi +cos²(x+Pi)
f(x + Pi) = x + Pi +cos²(x+Pi)
f(x + Pi) = x + Pi +cos²(x)
f(x + Pi) = f(x) + Pi
-------
b)
Pour trouver C sur [Pi ; 2Pi], on recopie la courbe sur [0 ; Pi] mais
remontée de Pi.
Pour trouver C sur [2Pi ; 3Pi], on recopie la courbe sur [0 ; Pi] mais
remontée de 2Pi.
...
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Sauf distraction.
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