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Les matrices

Posté par
jumath 30-08-15 à 16:26

Bonjour

J'ai un peu de problème à comprendre un résultat:

On a QDnQ-1=

1   (-1/3)n       0             0                      1/4      1/4     1/4      1/4
1        0        (-1/3)n       0                     3/4    -1/4    -1/4   -1/4
1        0            0          (-1/3)n              -1/4     3/4    -1/4    -1/4  
1     1/3n        1/3n        1/3n        .       -1/4    -1/4    3/4     -1/4


soit QDnQ-1=

1/4   1/4   1/4   1/4                               3/4    -1/4   -1/4   -1/4
1/4   1/4   1/4   1/4   + (-1/3)n              -1/4      3/4   -1/4   -1/4
1/4   1/4   1/4   1/4                               -1/4    -1/4    3/4    -1/4
1/4   1/4   1/4   1/4                               -1/4   -1/4   -1/4     3/4


Je ne comprends pas comment on a pu passer de la première égalité à la deuxième ( je n'ai pas réussi , pouvez-vous me l'expliquer? Y a t-il une méthode particulière à connaitre pour arriver a un tel résultat? ) Merci beaucoup!

Posté par
mdr_nonre : Les matrices 30-08-15 à 16:31

bonjour : )

il te suffit d'effectuer le produit matriciel, puis de séparer ta matrice en somme de 2 matrices
(l'une avec que des 1/4, l'autre le reste)

Posté par
mdr_nonre : Les matrices 30-08-15 à 17:06

pour simplifier on va mettre 1/4 en facteur dans la deuxième matrice

\large \begin{pmatrix}\frac{1}{4} & \frac{1}{4} & \frac{1}{4} & \frac{1}{4} \\ \frac{3}{4} & -\frac{1}{4} & -\frac{1}{4} & -\frac{1}{4} \\ -\frac{1}{4} & \frac{3}{4} & -\frac{1}{4} & -\frac{1}{4} \\ -\frac{1}{4} & -\frac{1}{4} & \frac{3}{4} & -\frac{1}{4}\end{pmatrix} = \frac{1}{4}\begin{pmatrix}1 & 1 & 1 & 1 \\ 3 & -1 & -1 & -1 \\ -1 & 3 & -1 & -1 \\ -1 & -1 & 3 & -1\end{pmatrix}

on effectue ensuite le produit matriciel :

\large \begin{pmatrix}1 & \left ( -\frac{1}{3} \right )^n & 0 & 0 \\ 1 & 0 & \left ( -\frac{1}{3} \right )^n & 0 \\ 1 & 0 & 0 & \left ( -\frac{1}{3} \right )^n \\ 1 & \frac{1}{3^n} & \frac{1}{3^n} & \frac{1}{3^n}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{1}{4} & \frac{1}{4} & \frac{1}{4} & \frac{1}{4} \\ \frac{3}{4} & -\frac{1}{4} & -\frac{1}{4} & -\frac{1}{4} \\ -\frac{1}{4} & \frac{3}{4} & -\frac{1}{4} & -\frac{1}{4} \\ -\frac{1}{4} & -\frac{1}{4} & \frac{3}{4} & -\frac{1}{4}\end{pmatrix} \\ \\ = \frac{1}{4}\begin{pmatrix}1 & \left ( -\frac{1}{3} \right )^n & 0 & 0 \\ 1 & 0 & \left ( -\frac{1}{3} \right )^n & 0 \\ 1 & 0 & 0 & \left ( -\frac{1}{3} \right )^n \\ 1 & \frac{1}{3^n} & \frac{1}{3^n} & \frac{1}{3^n}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 1 & 1 & 1 \\ 3 & -1 & -1 & -1 \\ -1 & 3 & -1 & -1 \\ -1 & -1 & 3 & -1\end{pmatrix} \\ \\ = \frac{1}{4}\begin{pmatrix}1 + 3\left ( -\frac{1}{3} \right )^n & 1 - \left ( -\frac{1}{3} \right )^n & 1 - \left ( -\frac{1}{3} \right )^n & 1 - \left ( -\frac{1}{3} \right )^n \\ 1 - \left ( -\frac{1}{3} \right )^n & 1 + 3\left ( -\frac{1}{3} \right )^n & 1 - \left ( -\frac{1}{3} \right )^n & 1 - \left ( -\frac{1}{3} \right )^n \\ 1 - \left ( -\frac{1}{3} \right )^n & 1 - \left ( -\frac{1}{3} \right )^n & 1 + 3\left ( -\frac{1}{3} \right )^n & 1 - \left ( -\frac{1}{3} \right )^n \\ 1 + \frac{1}{3^n} & 1 + \frac{1}{3^n} & 1 + \frac{1}{3^n} & 1 - \frac{3}{3^n}\end{pmatrix} \\ \\ = \frac{1}{4}\left ( \begin{pmatrix}1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}3\left ( -\frac{1}{3} \right )^n & -\left ( -\frac{1}{3} \right )^n & -\left ( -\frac{1}{3} \right )^n & -\left ( -\frac{1}{3} \right )^n \\ -\left ( -\frac{1}{3} \right )^n & 3\left ( -\frac{1}{3} \right )^n & -\left ( -\frac{1}{3} \right )^n & -\left ( -\frac{1}{3} \right )^n \\ -\left ( -\frac{1}{3} \right )^n & -\left ( -\frac{1}{3} \right )^n & 3\left ( -\frac{1}{3} \right )^n & -\left ( -\frac{1}{3} \right )^n \\ \frac{1}{3^n} & \frac{1}{3^n} & \frac{1}{3^n} & -\frac{3}{3^n}\end{pmatrix}\right ) \\ \\ = \frac{1}{4}\left ( \begin{pmatrix}1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1\end{pmatrix} + \left ( -\frac{1}{3} \right )^n\begin{pmatrix}3 & -1 & -1 & -1 \\ -1 & 3 & -1 & -1 \\ -1 & -1 & 3 & -1 \\ (-1)^n & (-1)^n & (-1)^n & (-1)^n\end{pmatrix}\right ) \\ \\ = \begin{pmatrix}\frac{1}{4} & \frac{1}{4} & \frac{1}{4} & \frac{1}{4} \\ \frac{1}{4} & \frac{1}{4} & \frac{1}{4} & \frac{1}{4} \\ \frac{1}{4} & \frac{1}{4} & \frac{1}{4} & \frac{1}{4} \\ \frac{1}{4} & \frac{1}{4} & \frac{1}{4} & \frac{1}{4}\end{pmatrix} + \left ( -\frac{1}{3} \right )^n\begin{pmatrix}\frac{3}{4} & -\frac{1}{4} & -\frac{1}{4} & -\frac{1}{4} \\ -\frac{1}{4} & \frac{3}{4} & -\frac{1}{4} & -\frac{1}{4} \\ -\frac{1}{4} & -\frac{1}{4} & \frac{3}{4} & -\frac{1}{4} \\ \frac{(-1)^n}{4} & \frac{(-1)^n}{4} & \frac{(-1)^n}{4} & \frac{(-1)^n}{4}\end{pmatrix}


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