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Niveau Licence Maths 1e ann
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Les nombres réels

Posté par
Jack814
17-11-23 à 11:12

Les ensembles ci-dessous sont-ils majorés, minorée ? Justifier les reponses.

Ces ensembles possèdent-ils une borne supérieure, une borne inférieure, un maximun, un mininum ? Justifier les reponses et si oui, les déterminer.

A ={(1/p)+(1/q),  p, q ∈ IN*}, B ={(2xy/x²+y²), x, y ∈ R*}

Posté par
Jack814
re : Les nombres réels 17-11-23 à 11:13

Bonjour chers collègues s'il vous plaît j'ai besoin d'aides sur cet exercice

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Les nombres réels 17-11-23 à 11:38

Bonjour,
Pour A, s'intéresser au signe de (1/p)+(1/q) peut être utile.

Posté par
Jack814
re : Les nombres réels 17-11-23 à 12:55

J'ai essayé sa.

Puisque p et q sont  différents de 0

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Les nombres réels 17-11-23 à 13:37

Tu as essayé ça.
Et as-tu trouvé quelque chose pour le signe ?
p et q ne sont pas seulement différents de 0, ils sont dans .

Posté par
MattZolotarev
re : Les nombres réels 21-11-23 à 23:13

Pour l'ensemble B :
Poser, pour y\in\mathbb{R}^* :
f_y:\ x\longmapsto \dfrac{2xy}{x^2+y^2}, définie sur \mathbb{R}_+^*.

On fixe y>0
1. Justifier que f_y est dérivable sur \mathbb{R}^* et montrer que, pour tout x\neq 0, f_y'(x) est du même signe que (y+x)(y-x)
2. En déduire le tableau de variations complet de f_y sur \mathbb{R}^*
3. En déduire que : \forall x,y\in\mathbb{R}^*, on a
\dfrac{2xy}{x^2+y^2}\in [-1,1]\setminus\{0\} et que les valeurs 1 et -1 sont atteintes.
4.Conclure.


Variante, plus astucieuse :
1.Justifier que pour tout x,y\in\mathbb{R}^*, on a
x^2+y^2-2xy\geqslant 0 et x^2+y^2+2xy\geqslant 0.
2. En déduire que pour tout x,y\in\mathbb{R}^*, on a
\dfrac{2xy}{x^2+y^2}\in [-1,1].
3. En choisissant des valeurs particulières pour x et pour y, montrer que \{\pm1\}\subset B.
4. Conclure.

Posté par
carpediem
re : Les nombres réels 22-11-23 à 11:27

salut

s(p, q) = \dfrac 1 p + \dfrac 1 q

tout d'abord on remarque que l'expression est symétrique en p et q : s(p, q) = s(q, p)

à q fixé comment varie la fonction p --> s(p, q) ?

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Les nombres réels 22-11-23 à 12:00

J'aimerais que Jack814 réponde à ma question :

Citation :
Et as-tu trouvé quelque chose pour le signe ?
Il s'agissait du signe de (1/p)+(1/q).



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