Niveau Reprise d'études

Les nombres réels - racine nième (MPSI)

Posté par
Autodidacte33 01-01-26 à 23:04

Bonsoir et bonne année à tous,

Je travaille actuellement le chapitre sur les nombres réels (livre de MPSI) et je suis tombé sur l'exercice suivant, que je n'arrive pas à résoudre :

Exercice
Soient $(n,m)\in\N^{*2}$ . Montrer que si $\sqrt[n]{m}$ est rationnel, alors il est entier.

Voici ce que j'ai fait jusqu'à présent :

Soient $n,m\in\N^{}$ tels que $\sqrt[n]{m}$ soit rationnel.
Il existe alors $p,q\in\N^{*}$ , que l'on peut supposer premiers entre eux, tels que
$\sqrt[n]{m}=\frac{p}{q}$ .
On obtient alors $m=\frac{p^n}{q^n}$ , soit encore $q^n m = p^n$ .

À partir de là, je bloque. J'ai l'impression qu'il faudrait montrer l'existence d'un entier
$k\in\N^{*}$ tel que $p = kq$ , ce qui impliquerait que
$\sqrt[n]{m}$ est entier.

Le livre donne une solution très brève que je ne comprends pas :
« Dans la décomposition en facteurs premiers de $m$ , tous les exposants doivent être des multiples de $n$ . »

Pourriez-vous me guider dans la compréhension de cette idée ?
Je préférerais des indications ou des explications plutôt que la solution complète.

Merci d'avance !

Posté par re : Les nombres réels - racine nième (MPSI) 02-01-26 à 01:04

Bonsoir

Si $\sqrt[n]{m}$ est un nombre entier, alors il existe un entier $r$ tel que $m=r^n$

Et si ${p_1}^{q_1}\dots {p_s}^{q_s}$ est la décomposition en facteurs premiers de $r$ , alors $m=\left({p_1}^{q_1}\dots {p_s}^{q_s}\right)^n={p_1}^{nq_1}\dots{p_s}^{nq_s}$ , ce qui fait bien apparaître la décomposition en facteurs premiers de m, et on voit bien les exposants multiples de n

Posté par re : Les nombres réels - racine nième (MPSI) 02-01-26 à 07:12

Bonjour,

Citation :
Si $\sqrt[n]{m}$ est un nombre entier, alors

Je crois qu'on ne suppose pas $\sqrt[n]{m}$ entier mais seulement rationnel.

Pour réserver la lettre p à un premier, je propose de noter a/b la forme irréductible de ce rationnel.
On a alors bⁿ

m = aⁿ.
Soit p un facteur premier de m, avec k, r et t ses exposants dans les décompositions de m, a et b.
On a alors nt+k = nr.
Et k est un multiple de n.

Il y a sans doute plus simple.

Posté par re : Les nombres réels - racine nième (MPSI) 02-01-26 à 19:09

Bonsoir,
Suivons Sylvieg et supposons que $\sqrt[n]{m}= a/b$ où $a$ et $b$ sont des entiers premiers entre eux, $b>0$ . Si $b>1$ il a un diviseur premier $p$ qui divise $a^n=mb^n$ et donc aussi $a$ . Mezalor $a$ et $b$ ne seraient pas premiers entre eux...
Variante : par Bézout on a des entiers $u,v$ tels que $ua+vb=1$ . Comme $a^n=mb^n$ , $1=(ua+vb)^{2n-1}$ est divisible par $b$ et donc....

Posté par re : Les nombres réels - racine nième (MPSI) 04-01-26 à 22:20

Bonsoir,

Je tiens tout d'abord à m'excuser pour le retard, j'avais des soucis de connexion.

Je vous remercie pour vos réactions.

@Zormuche : Comme Sylvieg l'a mentionné, $\sqrt[n]{m}$ est supposée rationnelle ; il faut justement montrer que c'est un entier 🙂

@Sylvieg : Merci beaucoup ! Ton message a débloqué la situation. J'ai compris le raisonnement, même si cela m'a pris du temps pour réaliser que $k, r$ et $t$ sont les exposants de $p$ , respectivement, dans les décompositions de $m, a$ et $b$
En appliquant le même raisonnement à tous les facteurs premiers de $m$ , on obtient que tous les exposants sont des multiples de $n$ . Ainsi, $m$ s'écrit sous la forme $m = k^n$ ( $k$ entier naturel non nul). On en déduit alors que $a = k b$ , donc $a$ est un multiple de $b$ , et par conséquent $\sqrt[n]{m}$ est un entier.

@GBZM : Concernant ta première méthode, je sais que la proposition suivante est intuitivement évidente : si $p$ divise $a^n$ , alors $p$ divise $a$ . Mais faut-il la démontrer, ou s'agit-il d'un théorème connu ?
Par ailleurs, lorsque l'on conclut que $a$ et $b$ ne sont pas premiers entre eux, rien n'implique nécessairement que $a$ est un multiple de $b$ : cela signifie seulement qu'ils admettent un diviseur commun strictement supérieur à $1$ . Ou peut-être que je ne comprends toujours pas le raisonnement.

Merci pour vos retours.

Posté par re : Les nombres réels - racine nième (MPSI) 04-01-26 à 22:24

Tout à fait, mais dire que sqrt[n]{m} est entier équivaut à ce que m ait des puissances multiples de n dans sa décomposition en premiers

Ainsi on pourrait reformuler l'exercice de la façon suivante : montrer que si sqrt[n]{m} est rationnel, alors les puissances de la DFP de m sont des multiples de n

Et puis tu posais la question suivante :

Citation :
Le livre donne une solution très brève que je ne comprends pas :
« Dans la décomposition en facteurs premiers de m, tous les exposants doivent être des multiples de n. »

Pourriez-vous me guider dans la compréhension de cette idée ?

Voilà d'où vient cette idée

Posté par re : Les nombres réels - racine nième (MPSI) 05-01-26 à 14:58

Autodidacte33 @ 04-01-2026 à 22:20

@GBZM : Concernant ta première méthode, je sais que la proposition suivante est intuitivement évidente : si $p$ divise $a^n$ , alors $p$ divise $a$ . Mais faut-il la démontrer, ou s'agit-il d'un théorème connu ?

On peut utiliser la décomposition en facteurs premiers de $a$ : si $p$ n'y figure pas, il ne figure pas non plus dans la décomposition en facteurs premiers de $a^n$ . On peut aussi utiliser Bézout : si $p$ ne divise pas $a$ , il est premier avec $a$ et donc il existe $u,v$ dans $\mathbb {Z}$ tels que $ua+vp=1$ . En développant $1=(ua+vp)^n$ , on obtient une identité de Bézout entre $a^n$ et $p$ , et donc $p$ ne divise pas $a^n$ .

Citation :
Par ailleurs, lorsque l'on conclut que $a$ et $b$ ne sont pas premiers entre eux, rien n'implique nécessairement que $a$ est un multiple de $b$ : cela signifie seulement qu'ils admettent un diviseur commun strictement supérieur à $1$ . Ou peut-être que je ne comprends toujours pas le raisonnement.

Il semble que tu as zappé la supposition faite que $a$ et $b$ sont premiers entre eux, autrement dit que la fraction est irréductible. Dans le raisonnement, on suppose ensuite $b>1$ et on abouti à l'absurdité que $a$ et $b$ ne seraient pas premiers entre eux. Donc $b=1$ .