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Les pains aux raisins
Voici le problème : On a de la pâte pour réaliser 100 petits pains. On dispose de 100 raisins que l'on mélange de manière aléatoire.
Combien de petits pains n'auront pas de raisins ?
Je voudrais de simuler ceci sur tableur mais je ne sais pas comment m'y prends
Une idée ?
PS : Je précise que je découvre la simulation en lycée, ayant été qu'en collège
On dispose de 100 raisins que l'on mélange de manière aléatoire.
Combien de petits pains n'auront pas de raisins ?
C'est imprécis.
Tu dois préciser le "protocole" que tu adoptes.
Exemple A :
Je numérote les pains.
Je tire un numéro au hasard entre 1 et 100.
J'affecte le raisin au pain portant ce numéro.
Je recommence jusqu'à épuisement des raisins (en autorisant la répétition de numéros...).
Est-ce celà que tu fais ?
C'est l'interprétation la plus raisonnable de ton énoncé... mais il y en a d'autres.
Exemple B :
Je dispose les pains régulièrement sur un plan puis je lance les 100 raisins en l'air et je les place dans le pain le plus proche.
Le résultat ne sera pas le même selon les deux protocoles...
Le protocole B devrait lui même être précisé (disposition des pains, manière de lancer les raisins...)
salut
sur tableur : deux colonnes
raisin || pain
1 --> n(1)
2 --> n(2)
...
100 --> n(100)
n(i) = ENT(ALEA(100)) est le numéro du pain dans lequel se trouve le raisin i
puis ensuite on compte le nombre de pains qui n'ont pas d'antécédent(s) ....
Dans la proposition de carpediem (que je rejoins), c'est le protocole A qui est supposé...
Pour recouper le résultat de la simulation sur tablear :
Chaque pain peut être tiré 100 fois avec une probabilité p=1/100.
Donc le nombre X de raisins dans un pain suit une loi binomiale B(n=100 ; p=0,01).
Et donc : P(X=0) = (1-p)n = (1-1/n)n ~ e ~ 0,368
J'étais partie sur la méthode développée par carpediem.
Mais je n'étais pas sur.
J'ai créé un tableau de 100 cases qui correspond à un raisin, et je fait afficher dans chaque case le numéro du pain où il se situe.
Et pour répondre à la question j'ai fait comptabiliser tous les 0
Toutefois, je souhaiterais prolonger cette exercice avec cette question :
"Combien mettre de raisins pour être à peu près sûr que 95 pains auront du raisin ?"
Ma méthode est de faire des échantillons différents pour les raisons, et étudier la fluctuation
Mais là problème, je ne sais pas trop comment faire
Merci pour vos réponses
Mathématiquement :
k pains
n raisins
P(X=0) = (1-1/k)n = 1 - 0,95
Donc : n = Ln(1-0,95) / Ln(1-1/k) = Ln(0,05) / Ln(0,99) ~ 298 raisins
Celà recoupe que 1/e au cube vaut environ 0,05 et que donc en triplant le nombre de raisins on passe bien d'une probabilité de zéro raisin de 1/e à 0,05.
J'ai créé un tableau de 100 cases qui correspond à un raisin, et je fait afficher dans chaque case le numéro du pain où il se situe.
Et pour répondre à la question j'ai fait comptabiliser tous les 0
Je doute que celà réponde à la question que tu poses au départ...
Trouves tu une probabilité proche de 0,368 ?
Ma méthode est de faire des échantillons différents pour les raisons, et étudier la fluctuation
Mais là problème, je ne sais pas trop comment faire
Je ne crois pas que celà te permette de répondre à la question que tu poses.
oui je suis d'accord ...
peut-être une autre façon de voir :
soit k ne nombre de pains qui n'ont pas de raisin
la probabilité que k pains n'aient pas de raison est le rapport :
nb d'applications de [1, 100] dans [1, 100 - k] / nb d'applications de [1, 100] dans [1, 100]
.....
Le but de cet exercice est justement de ne pas entrer dans la théorie, mais d'essayer d'estimer le résultat.
Car si j'ai bien compris le programme de 2nde, c'est ce qui est demandé avec l'échantillonnage, même si la théorie est pour ma part importante.
Je doute que celà réponde à la question que tu poses au départ...
Trouves tu une probabilité proche de 0,368 ?
Tout dépend des essais justement. Parfois j'ai 0; 0.01;0.02;0.04; 0.08.....
D'où le but de faire varier le nombre de raisins (échantillons) et de repondre à cette question :
"Combien mettre de raisins pour être à peu près sûr que 95 pains auront du raisin ?"
Bonjour Candy,
Tout dépend des essais justement. Parfois j'ai 0; 0.01;0.02;0.04; 0.08.....
Correspondent-ils à une fréquence ?
Avec quel nombre de pains et de raisins ?
Parce que si tu as simulé k=100 pains et n=100 raisins, alors ces résultats sont faux.
Tu devrais trouver une fréquence de pains sans raisins aux environs de 0,368.
Car : P(X=0) = (1-1/k)n = (1-1/100)100 ~ 1/e ~ 0,368
Lorsque que auras retrouvé ce résultat théorique, tu pourras refléchir à l'étape suivante (combien de raisins, donc quel 'n' pour avoir 5% de pains sans raisins seulement), qui est un peu plus compliquée que tu ne sembles penser, car dans ce dernier cas, il faut changer 'n'.
Raisonner par fluctuations d'échantillonnages de simulations te permettrais de trouver le niveau de certitude de la fréquence moyenne que tu trouves pour un certain 'n' et un certain 'k'.
Mais pas de calculer la fréquence moyenne pour un autre 'n' que celui que tu as simulé...
Si tu veux, explique ce que tu a fait pour la première question, et on creuse ça pour être bien sûrs que ce que tu as fait est correct ou non.
Pour la question 1, j'ai fixé le nombre de raisins et de pains à 100 . Donc n = k = 100
Et en effet c'est la fréquence que j'obtiens avec plusieurs essais (F9)
Je joins une copie de mon tableau, où chaque chaque donne le numéro du pain où va le raisin k
J'avais bien compris que tu avais fait ça 
...
Tu interprètes mal ton tableau.
J'imagine que chacune des 100 cellules de ton tableau 10x10 contient un aléa qui va de 1 à 100.
Ce nombre est le numéro du pain où va le raisin correspondant à la cellule.
Mais ce numéro n'a rien à voir avec le nombre de raisins reçus par chaque pain 
!
Il faut "balayer" ton tableau pour recenser les numéros de pains qui n'y apparaissent pas :
et ces numéros "absents" sont précisément ceux des pains sans raisin ...
Ce sont eux que tu dois dénombrer.
Donc c'est plus compliqué que ce que tu as fait.
Là tu as juste calculé la fréquence de zéros quand tu tires 100 nombres au hasard de 1 à 100...
Et d'ailleurs, ce tirage, tu l'as mal fait, car tu ne devrait pas avoir en même temps des 0 et des 100, et ton erreur vient en partie de là.
Si ton générateur est bien fait, tu dois avoir des nombres de 1 à 100. Et pas de zéros.
Exemple de générateur de nombres de 1 à 100 (équiprobables) :
PAIN = ENT(ALEA()*100) + 1
OK ?
J'imagine que chacune des 100 cellules de ton tableau 10x10 contient un aléa qui va de 1 à 100.
Ce nombre est le numéro du pain où va le raisin correspondant à la cellule.
Mais ce numéro n'a rien à voir avec le nombre de raisins reçus par chaque pain !
Oui en effet, c'est bien ça !!
Il faut "balayer" ton tableau pour recenser les numéros de pains qui n'y apparaissent pas :
et ces numéros "absents" sont précisément ceux des pains sans raisin ...
Ce sont eux que tu dois dénombrer.
J'ai refait le tableau en suivant tes conseils.
De là j'ai crée aussi un tableau en deux lignes et 100 colonnes, où dans la deuxième ligne je compte combien de fois apparait le nombre i (1 à 100).
Et ensuite je fais le total de 0, qui représente à chaque fois un nombre qui n'apparait pas.
Et si j'ai bien compris, ce total représente le nombre pain sans raisins
Mais je trouve ceci un peut long. Exite t il une méthode plus rapide ?
pourtant ça se programme bien sur un tableur ...
n'avais-je pas dit 2 colonnes
en fait tu rajoutes une 3e colonne qui teste si le pain n° i possède (au moins) un raisin ou non
c'est à dire que tu testes si le pain i apparait ou non dans la deuxième colonne (1 ou 0) et alors il suffit de sommer cette 3e colonne pour savoir combien de pains ont un raisin ...
Alors là je suis perdue.
Je pense que je vais faire une pause pour cet exercice et le reprend plus tard pour profiter de mes derniers jours de vacances
Car là j'ai l'impression de tout mélanger et ne plus retrouver mes erreurs.
Le pourquoi est qu'après modification je trouve des résultats un peu surprenant!
Par exemple : J'obtiens 67, ou 55......
Je trouve ça énorme. Donc je me dis que ce n'est pas normal
carpediem t'a donné une piste...
Voici une variante...
En colonne A : les paramètres
A3 : 100 k: nombre de pains
A5 : 100 n: nombre de raisins
En colonne B : les numéros des pains
B2 : = 1
B3 : = B2 + 1
...
B101 : = B100 + 1 k-ème pain
En colonne C : compteur de raisins
C2 : = 1
C3 : = C2 + 1
...
C101 : = C100 + 1 n-ème raisin distribué
En colonne D : tirage d'un n° de pain, pour chaque raisin
D2 = ENT( ALEA()*$A$3 ) + 1
D3 = ENT( ALEA()*$A$3 ) + 1
...
D101 = ENT( ALEA()*$A$3 ) + 1
En colonne E : comptage du nombre d'occurrences tirées pour chaque n° de pain
E2 = NB.SI( D2 : D101 ; B2)
E3 = NB.SI( D2 : D101 ; B3)
...
E101 = NB.SI( D2 : D101 ; B101)
En cellule E1 : nombre de zéros dans la colonne comptage
E1 = NB.SI( E2:E101 ; 0)
La cellule E1 donne le nombre de pains recevant zéro raisins.
En la divisant par k, on obtient la fréquence de pains à zéro.
En répétant les colonnes D et E un certain nombre de fois :
On obtiens une simulation répétée et on peut calculer une fréquence moyenne...
... voire un écart-type de cette fréquence :
... il n'est même pas besoin de la colonne B puisqu'on peut les (pains) indicer par la colonne C (on peut indicer les pains et les raisins par une seule colonne) ....
la colonne D nous dit que le raisin 1 est allé sur le pain 66 et que celui-ci a reçu 2 raisins ... ce que l'on aurait pu noter dans la ligne correspondant au 66 ...
... il n'est même pas besoin de la colonne B puisqu'on peut les (pains) indicer par la colonne C (on peut indicer les pains et les raisins par une seule colonne) ....
Très juste...
Mais en réalité, la feuille que j'ai faite anticipe déjà le cas où n varie et est différent de k
...
Je peux simplement changer de valeur pour 'n' et la feuille s'adapte...
Et dans ce cas, ne serait-ce que pour la clarté, une colonne pour les numéros de pains et une pour les numéros de raisins, ce n'est pas de trop
...
C'est surtout qu'elle semble avoir sous estimé la difficulté du problème.
Il est faisable, mais il faut prendre le temps de le poser clairement...
Bonjour.
Sélectionner A1:A100; écrire =ent(alea()*100+1) et valider par Ctrl Enter our que la formule se répartisse dans toutes les cellules de la zone sélectionnées.
Vérifier que la zone est toujours sélectionnée et Ctrl C pour la copier; ensuite Collage Spécial valeurs : les nombres ne changeront plus par la suite.
Sélectionner B1:B100; écrire =nb.si(A$1:A$100;ligne()); les $ devant 1 et 100 assurent que chaque cellule de la colonne B examine bien la zone A1:A100; si on ne les mettait pas, le 1 et le 100 changerait selon la position de la cellule dans la colonne B; par exemple dans la cellule B10, on aurait =nb.si(A10:A109), car B10 est à 9 cases en dessous de B1.
nb.si(zone;valeur) donne le nombre de cellules de la zone dont le contenu est égal à valeur; ligne() donne le numéro de la ligne de la cellule dans laquelle la formule est écrite; ligne() représente le numéro de raisin examiné et la cellule affiche le nombre de fois que ce numéro apparaît dans la colonne A
Dans C1, écrire =nb.si(B1:B100;0): c'est le nombre de pains sans raisin.
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