Bonsoir, purriez vous m'aider svp

Les nombres premiers sont les nombres supérieurs à 1 qui ont le moins de diviseurs positifs ( ils en ont deux). A l'opposé, il y a des nombres , que l'on nomme « ploutons » qui ont beaucoup de diviseurs.
Plus exactement, on appelle « plouton » un entier naturel P tel que :
Pour tout entier naturel n strictement inférieur à P      d(n)< d(P)
Où d(n) est le nombre de diviseurs positifs de n.


1/ Calculer d(48)

2/ Les entiers 8, 12, 15 sont-ils des « plouton » ?

3/ Soit n appartient à N*.
La décomposition en facteurs premiers de n est :
N=p1^(a1) X p2^(a2) X p3^(a3)…..pk^(ak).

a/ Justifier que le nombre de diviseurs de n est:
(1+(a1)) ( 1+(a2)) ….(1+(ak)

b/Verifier cette formule pour 48


4/ On se propse de chercher les puissances de 2 qui sont des « ploutons »
Soit n = 2â, a etant un entier naturel

a/ Demontrer que : si a>2 alors l'entier  m = 2^(a-2) X 3 est tel que :
- m<n
- d(m)<d(n) si et seulement si a<3

b/ En déduire les puissances de 2 qui sont des « ploutons »

5/Rechercher de même ls puissances de 3 qui sont des « ploutons »
(on remarquera que 3²>5 et on appliquera le même raisonnement.)

6/ On se propose de rechercher les « ploutons » qui sont de la forme 2^a X 3^b (a et b  étant des entiers naturels)
a/ Justifier que : si 2^a X 3^b est un « plouton », alors a>b

b/ Demontrer que  :
-si b>2 alors 2^a X 3^b > 2^a X 3^(b-2) X 5
- d(2^a X 3^(b-2) X 5 < d(2^a X 3^b) si et seulement si b<3
c/ En deduire les entiers de la forme 2^a X 3^b qui sont des « ploutons »

7/ Demontrer que si un « plouton » est divisible par un nombre premier p, alors il est divisible par tout nombre premier p', p'<p

8/Demontrer que si la décomposition en facteurs premiers d'un « plouton » n s'ecrit n = 2^(a1) X 3^(a2)…pk^(ak), alors a1>ou egal à a2 >ou egal a ak