Bonjour,
je dois montrer que Rd l'ensemble des racines primitives d-ième de l'unité forme une partition de Un ensemble des n-ème de l'unité.
L'inclusion est clair.
Je bloque sur la réciproque. J'écris que si alors avec des notations entendues.
Du coup .
Et je n'arrive pas à me convaincre que .
Pouvez-vous m'aider à finir la démonstration ?
D'avance merci
Salut,
je n'ai pas compris carpediem l'explication.
Je veux montrer que
Donc je dois montrer que si alors pour un certain .
Et je dois alors montrer que et que .
Non ?
Bonjour,
Y'a pas besoin, tout est déjà fait et tient en deux phrases.
si et , alors en particulier et donc aussi
si , l'ordre de z divise n, donc il existe d tel que l'ordre de z soit exactement d, i.e z est une racine primitive d-ième de l'unité
(quand je dis qu'i ln'ya pas besoin, je parlais du message de 14:48)
le fait que ce soit une partition est comme GBZM l'indique une manière de dire que l'ordre d'un élément est unique. Ou encore, que deux entiers naturels associés sont égaux
Bonjour,
merci à tous. J'ai finalement réussi !
Une inclusion est directe.
Pour l'autre, je fais comme ça :
Si alors avec .
Donc .
Donc : et donc avec .
Donc .
D'où qui impose donc .
Là, je comprends mieux !
Qu'en pensez-vous ?
Bonjour,
Ok ! J'essaye de reprendre votre raisonnement.
Si alors et donc . D'où .
Par conséquent, avec .
D'où qui impose donc .
Plus simple comme preuve, non ?
Pas besoin de pgcd, c'est bien plus simple !
si et seulement s'il existe tel que
Donc ssi tq .
Ce qui est enfin équivalent à . Le sens est trivial, et l'autre est simplement le théorème de Lagrange qui dit que l'ordre de z divise n, donc d = o(z) convient
Toujours compliqué. Simple :
si et seulement si l'ordre multiplicatif de divise . Or l'ordre multiplicatif de est si et seulement si . Donc est la réunion disjointe des pour divisant .
Je ne le vois pas justement ! L'équivalence ssi . Pourquoi ?
Un sens est immédiat :
si alors et donc avec ce qui est fait dans mon précédent message, et donc .
si alors et donc . Pourquoi exactement ?
Loupé, c'est qu'on cherche et pas (je pense que tu risques de confondre la variable muette n que tu introduis avec le n de que donne l'énoncé) et il manque un "il existe" quelque part dans ta définition
Ok, je vois pourquoi je m'y perds.
Déf : est une racine primitive n-ième ssi .
Caractérisation : est une racine primitive n-ième ssi .
Du coup, si je reprends la démonstration, cela donne :
Si alors avec . On a donc et donc . D'où .
Inversement, si alors , et donc . Mais ssi .
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