Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Niveau Reprise d'études
Partager :

Les racines primitives n-ième de l'unité

Posté par
Milka3
18-02-23 à 11:52

Bonjour,
je dois montrer que Rd l'ensemble des racines primitives d-ième de l'unité forme une partition de Un ensemble des n-ème de l'unité.
L'inclusion \cup_d R_d \subset U_n est clair.
Je bloque sur la réciproque. J'écris que si z\in U_n alors z=w_k=w_1^k avec des notations entendues.
Du coup o(z)=\frac{n}{pgcd(n,k)}=:d.

Et je n'arrive pas à me convaincre que z\in R_d.

Pouvez-vous m'aider à finir la démonstration ?
D'avance merci

Posté par
carpediem
re : Les racines primitives n-ième de l'unité 18-02-23 à 12:29

salut

si n = dq et z^n = 1 alors (z^q)^d = 1 donc z^q \in U_d

Posté par
Milka3
re : Les racines primitives n-ième de l'unité 18-02-23 à 14:48

Salut,
je n'ai pas compris carpediem l'explication.

Je veux montrer que U_n\subset\bigcup_{d|n} R_d

Donc je dois montrer que si z=w_k=w_1^k\in U_n alors z\in R_d pour un certain d|n.

Et je dois alors montrer que z^d=1 et que pgcd(k,d)=1.

Non ?

Posté par
Camélia Correcteur
re : Les racines primitives n-ième de l'unité 18-02-23 à 15:22

Bonjour
Quelque chose m'échappe! Où sont les racines non primitives?

Posté par
GBZM
re : Les racines primitives n-ième de l'unité 18-02-23 à 15:29

Bonjour,

Citation :
je dois montrer que Rd l'ensemble des racines primitives d-ième de l'unité forme une partition de Un ensemble des n-ème de l'unité.

Tu as mal formulé l'énoncé de ton exercice. Il aurait mieux valu donner l'énoncé exact. Ce qu'il faut montrer, c'est que la famille des R_d pour d divisant n.
Si z^n=1, n'existe-t-il pas un unique diviseur d de n tel que l'ordre multiplicatif de z soit d ?

Posté par
GBZM
re : Les racines primitives n-ième de l'unité 18-02-23 à 15:31

GBZM @ 18-02-2023 à 15:29

la famille des R_d pour d divisant n...  est une partition de U_n.

Posté par
Ulmiere
re : Les racines primitives n-ième de l'unité 18-02-23 à 15:33

Y'a pas besoin, tout est déjà fait et tient en deux phrases.

\boxed{\subseteq} si d|n et z\in R_d, alors en particulier z^d = 1 et donc z^n = (z^d)^{n/d} = 1 aussi

\boxed{\supseteq} si z^n = 1, l'ordre de z divise n, donc il existe d tel que l'ordre de z soit exactement d, i.e z est une racine primitive d-ième de l'unité

Posté par
Ulmiere
re : Les racines primitives n-ième de l'unité 18-02-23 à 15:35

(quand je dis qu'i ln'ya pas besoin, je parlais du message de 14:48)

le fait que ce soit une partition est comme GBZM l'indique une manière de dire que l'ordre d'un élément est unique. Ou encore, que deux entiers naturels associés sont égaux

Posté par
Milka3
re : Les racines primitives n-ième de l'unité 20-02-23 à 17:29

Bonjour,
merci à tous. J'ai finalement réussi !
Une inclusion est directe.
Pour l'autre, je fais comme ça :
Si z\in U_n alors z=w_k=w_1^k avec 1\le k\le n.
Donc o(z)=o(w_1^k)=\frac{o(w_1)}{pgcd(o(w_1),k)}=\frac{n}{pgcd(n,k)}:=d.

Donc : z^d=1 et donc z=w'_k=w'_1^k avec 1\le k\le d.
Donc o(z)=o(w_1^k)=\frac{o(w_1)}{pgcd(o(w_1),k)}=\frac{d}{pgcd(d,k)}.

D'où d=\frac{d}{pgcd(d,k)} qui impose pgcd(d,k)=1 donc z\in R_d.

Là, je comprends mieux !
Qu'en pensez-vous ?

Posté par
GBZM
re : Les racines primitives n-ième de l'unité 20-02-23 à 17:49

Que tu te compliques inutilement la vie !

Posté par
Milka3
re : Les racines primitives n-ième de l'unité 22-02-23 à 14:27

Bonjour,
Ok ! J'essaye de reprendre votre raisonnement.

Si z\in U_n alors z^n=1 et donc o(z)=d|n. D'où z^d=1.

Par conséquent, z=w_k=w_1^k avec 1\le k\le d.

D'où o(z)=o(w_1^k)=\frac{d}{pgcd(d,k)} qui impose pgcd(d,k)=1 donc z\in R_d.

Plus simple comme preuve, non ?

Posté par
Ulmiere
re : Les racines primitives n-ième de l'unité 22-02-23 à 14:34

Pas besoin de pgcd, c'est bien plus simple !

x \in \bigcup_{i\in I} A_i si et seulement s'il existe i\in I tel que x\in A_i

Donc z\in \bigcup_{d | n} R_d ssi \exists d | n tq z \in R_d.

Ce qui est enfin équivalent à z^n = 1. Le sens \implies est trivial, et l'autre est simplement le théorème de Lagrange qui dit que l'ordre de z divise n, donc d = o(z) convient

Posté par
GBZM
re : Les racines primitives n-ième de l'unité 22-02-23 à 14:36

Toujours compliqué. Simple :

z\in U_n si et seulement si l'ordre multiplicatif de z divise n. Or l'ordre multiplicatif de z est d si et seulement si z\in R_d. Donc U_n est la réunion disjointe des R_d pour d divisant n.

Posté par
Milka3
re : Les racines primitives n-ième de l'unité 22-02-23 à 14:48

Je ne le vois pas justement ! L'équivalence z\in R_d ssi o(z)=d. Pourquoi ?

Un sens est immédiat :
si o(z)=d alors z^d=1 et donc avec ce qui est fait dans mon précédent message, pgcd(d,k)=1 et donc z\in R_d.
si z\in R_d alors z^d=1 et donc o(z)|d. Pourquoi o(z)=d exactement ?

Posté par
GBZM
re : Les racines primitives n-ième de l'unité 22-02-23 à 14:54

Quelle est la définition de "racine primitive d-ème de l'unité" ?

Posté par
Milka3
re : Les racines primitives n-ième de l'unité 22-02-23 à 15:25

Euh, je dirais z\in R_n ssi z=w_k=w_1^k avec pgcd(k,n)=1, cad ssi z est un générateur de U_n, non ?

Posté par
Ulmiere
re : Les racines primitives n-ième de l'unité 22-02-23 à 15:31

Loupé, c'est R_d qu'on cherche et pas R_n (je pense que tu risques de confondre la variable muette n que tu introduis avec le n de U_n que donne l'énoncé) et il manque un "il existe" quelque part dans ta définition

Posté par
GBZM
re : Les racines primitives n-ième de l'unité 22-02-23 à 16:09

Citation :
Une racine n-ième de l'unité z est dite primitive si elle est d'ordre exactement n, c'est-à-dire si n est le plus petit entier strictement positif pour lequel l'égalité z^n=1 est réalisée.

Tu peux remplacer n par d pour racine primitive d-ème.
C'est ça la définition. Ce que tu écris est une caractérisation des racines primitives n-èmes et tu te compliques inutilement la vie en voulant à tout prix utiliser cette caractérisation plutôt que la définition.

Posté par
Milka3
re : Les racines primitives n-ième de l'unité 24-02-23 à 15:34

Ok, je vois pourquoi je m'y perds.
Déf : z est une racine primitive n-ième ssi o(z)=n.
Caractérisation : w_k est une racine primitive n-ième ssi pgcd(k,n)=1.

Posté par
Milka3
re : Les racines primitives n-ième de l'unité 24-02-23 à 15:38

Du coup, si je reprends la démonstration, cela donne :
Si z\in R_d alors z^d=1 avec d|n. On a donc  n=dq et donc z^n=(z^d)^q=1. D'où z\in U_n.
Inversement, si z\in U_n alors z^n=1, et donc d=o(z)|n. Mais o(z)=d ssi z\in R_d.

Posté par
Milka3
re : Les racines primitives n-ième de l'unité 24-02-23 à 15:39

De ce que je comprends, par définition, z\in R_d ssi o(z)=d.

Posté par
GBZM
re : Les racines primitives n-ième de l'unité 24-02-23 à 15:43

Oui c'est la définition. Tu n'as pas de cours ou de manuel pour vérifier ?



Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :


Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1674 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !