z⁴-1=0
(z²-1)*(z²+1)=0
(z-1)*(z+1)*(z-i)*(z+i)=0

ah ok !
merci beaucoup !
bonne soirée

Juste pour le calcul de (cos x)^5
j'arrive à 1/2^4 (cox5x+5cos3x+10cosx) est ce qsue tu peux m'expliquer comment on arrive a ce resultat
Pareil pour sin^5(x)...
merci...

Si tu connais la formule donnant cos(a+b) et la formule donnant sin(a+b) tu peux, de proche en proche calculer cos(5x) et sin(5x). Le plus rapide est de calculer cos(2x), puis cos(4x), puis cos(4x+x)...

Bonjour! Je me permets de revenir sur ce vieux sujet..

Je ne saisis pas bien la première manière ;

marie 64 @ 15-09-2009 à 20:20


z^n=1=e^n2k

bonsoir

le solution de z^4=1 ne sont-elles pas les quatre racines quatrième de l'unité ....

deux nombres complexes sont égaux si et seulement si :

1/ ils ont même module
2/ ils ont même argument modulo 2pi

et arg (z^n) = ... ?

arg z^n = 0 modulo 2pi ?

certes !! mais 0 * ?? = 0 donc il vaut mieux prendre 2pi !!

d'accord ;
mais comment déduire après les racines 1, -1 , i et -i ? Car je vois que c'est pour les angles 2pi, pi, pi/2 et -pi/2 ; mais je ne sais pas comment arriver à ces réponses ni montrer que ce sont les seules (à moins pour ce dernier point qu'on puisse dire sans le démontrer que les racines n-ème de l'unité sont forcément au nombre de n ?)

Merci!

ne sais-tu pas écrire un complexe sous forme exponentielle ? puis en déduire la forme algébrique ?

ne sais-tu pas plus généralement résoudre l'équation

Si enfin en l'occurrence je sais que e^2pi = 1 ; e^{/ 2} = i ; e = - 1 et e^{-/ 2} = -i          Mais ce que je ne sais pas c'est comment passer de arg zⁿ = 2 à ces résultats ?
je vois que arg zⁿ = 2 <=> eⁱ = e^i2+2k    mais c'est tout ...

carpediem @ 11-04-2022 à 11:17

voir ici : Les nombres complexes

Très clair merci beaucoup !

Et dernière petite question, au risque d'abuser de votre dévouement :O ; lorsqu'un exercice demande des racines n-èmes de l'unité : les racines troisièmes admettons, peut-on utiliser cela :

L'ensemble \U_n comporte exactement n éléments.
Ce sont les complexes z_0,z_1,\cdots,z_{n-1} définis par :  \forall k\in\left\lbrace 0,1,\cdots, n-1\right\rbrace \enskip \text{ : }\enskip z_k=\text{e}^{ i\frac{2k\pi}{n}}

comme acquis, en remplaçant simplement k par 0, 1 et 2 sans autre explication ? (pour la BLSES tout du moins..)

qu'est-ce que la BLSES ?

sinon c'est du savoir ... qui provient des règles sur les exposants apprises au collège et leur application à l'exponentielle réelle (qui n'en est qu'une généralisation en fait) et complexe ...

D'accord ; c'est la banque de l'ENS pour les prépas BL )

merci