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Les sommes de deux carrés
Bonjour tout le monde,
On dit qu'un entier naturel A est somme de deux carrés, s'il existe deux entiers x et y tels que :
A = x² + y²
On se propose de montrer que, si A est somme de deux carrés An est aussi somme de deux carrés, pour tout entier n supérieur ou égal à 1 .
Soit x, y deux entiers et z le nombre complexe :
z = x + iy
1) Montrer (par réccurence) que :
zn = xn + iyn , avec xn et yn entiers.
2) Prouver que, si A = x² + y², alors An = x²n + y²n .
Bonne chance et merci d'avance ! 
je remonte le sujet pour les correcteurs ...
1) Vrai au rang 1 : facile
Supposons que la propriété est vraie au rang n,
zn+1=zn*z
=(xn+iyn)(x+iy)
=(x*xn-y*yn)+i(y*xn-x*yn)
on peut donc poser
xn+1=x*xn-y*yn
yn+1=y*xn+x*yn
on peut donc conclure.
2) A=|z| donc An=|z|n=|zn|.
A toi de jouer.
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