Essaye de construire l'extractrice de proche en proche !

Bonjour. Dessines quelques exemples de suites (avec des petites croix) et essaye de deviner comment on peut construire une extractrice telle que la sous-suite obtenue soit monotone.

Tu dois parvenir à deux cas : une sous-suite strictement décroissante , ou bien croissante

Ouii j'essai de comprendre ce qui dit l'exercice et meme j'ai un video sur youtube de soleil levant qui aide a imaginer la relation mais le probleme il faut que je traite de cas d'un ensemle fini et un ensemble infini mais comment je construit cette suite extraite
Mercii

Pour construire ton extractive, considère l'ensemble .
Comme c'est une partie de elle est soit infinie (dénombrable), soit finie (cas vide inclus).
Distingue les deux cas possible. Si A est infinie, que peux-tu dire de la suite des termes indexés par A (sa monotonie) ? Si A est finie (assure toi que c'est bien non vide) comment pourrais tu indexer les termes de , quelle monotonie a la suite extraite ?

edit : oublies le (assure toi que c'est bien non vide)

J'ai une question comment tu arrives a construire des ensembled comme celle la une chose que je n'arrive jamais a le faire     Merci SkyMtn j'essai avec ton idee et je vois est ce que j'arrive a la solution mercii

Ouii mercii

Bonjour,

On va essayer de décrire la construction d'une suite extraite   (avec ) monotone (au sens large, en général,  évidemment).

Traitons d'abord le cas d'une suite non majorée.  On va alors construire par récurrence une suite extraite strictement croissante et tendant vers :

On choisit quelconque  (par exemple ).
Supposons qu'on ait déterminé   et   .
Montrons qu'il existe vérifiant

Supposons, en effet, le contraire:

Une fausse manœuvre m'a fait poster un message incorrect et incomplet :

Je reprends à partir de l'avant dernière ligne:

"Montrons qu'il existe tel que .

Supposons, en effet, le contraire:    . Or ceci est contradictoire avec l'hypothèse selon laquelle n'est pas majorée.
On posera alors et on aura , ce qui établit la construction à l'ordre et donc la construction par récurrence de la suite extraite croissante .

Bien entendu, on peut traiter de manière symétrique le cas où la suite est non-minorée.

Il ne reste plus donc qu'à examiner le cas d'une suite (réelle) bornée. On sait qu'alors il existe une suite extraite convergente et comme une suite extraite d'une suite extraite est une suite extraite de la première, il ne reste plus maintenant qu'à traiter le cas d'une suite convergente et même si on le veut  convergente vers avec un petit changement de variable.

Je laisse ce cas à traiter. J'y reviendrai éventuellement s'il y a une demande . . .

Bonjour,
pedestre  je sais pourquoi tu utilise majoree et minore puisque ma question et sur la monotonie
Une autre question comment faire difference entre un ensemble fini et infini je sais pour etre fini il faut qu'il existe une injection mais c'est pas le cas
Mercii

Bonsoir, tu n'as pas pu continuer l'exercice avec mes indications ?

Si A est fini il existe une suite extraite décroissante .
Si A est infini il existe une suite extraite strictement croissante .

Bonjour
SkyMtn ouii j'arrive pas a completer aussi cette indication a ete donner dans le TD mais j'arrive pas je pense le probleme c'est dans ensemble fini et infini que je n'arrive pas a visualer correctement
etniopal ouii je sais mais c'est ça le probleme comment
Mercii

Supposons que A soit fini .
  Il existe donc un entier N > 0  tel que A soit contenu dans { 0,1.....,N} .
     On a donc " n > N , k > n tel que u(k) u(n) "  .
Autrement dit pour tout entier n > N , l'ensemble B(n) formé des entiers k > n vérifiant que u(k) u(n)  est non vide et admet donc un plus petit élément b(n) .

On pose
t(0) := N + 1
t(1) = b(N + 1) = b(t(0))  donc   t(1) > t(0) et   u(t(1))   u(t(0))
t(2) = b(t(1))  donc   t(2) > t(1) et u(t(2))   u(t(1))
……
La suite u o t, qui  est extraite de u , est  croissante (au sens large)

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Supposons que A soit infini .
Il existe donc s : strictement croissante telle que s() = A .
   Soit alors n .
Puisque  s(n) A  et s(n +1) > s(n) on a :  u(s(n+1) ) < u(s(n)) .
u o s est donc décroissante ( strictement  ) .