bonjour et merci de me consacrer un petit peu de votre temps pour m'aider dans cet exercice de maths.
Les propositions sont indépendante.Dire si elles sont vraies ou fausses et justifier.
on considèrera Un positive et Vn=Un/1+Un
1) Pour tout n 0Vn1
2) Si la suite Un est convergente, alors la suite Vn est convergente.
3) Si la suite Un est croissante, alors la suite Vn est croissante.
4) Si la suite Vn est convergente, alors la suite Un est convergente.
merci de m'aider svp.
1)
Le dénominateur et le numérateur de Un/(1+Un) sont tous les deux positifs puisque Un est positif.
-> Un/(1+Un) >= 0
Vn >= 0 (1)
1+Un >= Un
(1+Un)/(1+Un) >= Un/(1+Un)
1 >= Vn
Vn <= 1 (2)
(1) et (2) -> 0 <= Vn <= 1.
-> VRAI
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2)
Pour que Vn diverge, il faudrait que Un converge vers -1. Mais on a Un convergeant mais positive -> VRAI
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3)
V(n+1) = U(n+1)/(1+U(n+1))
V(n+1) - V(n) = U(n+1)/(1+U(n+1)) - U(n)/(1+U(n))
V(n+1) - V(n) = [U(n+1)(1+U(n)) - U(n).(1+U(n+1))]/[(1+U(n+1)).(1+U(n))]
V(n+1) - V(n) = [U(n+1)- U(n)]/[(1+U(n+1)).(1+U(n))]
Le dénominateur est > 0 et le numérateur > 0 puisque Un est croissante ->
V(n+1) - V(n) > 0
V(n+1) > V(n)
Et donc VRAI, Vn est croissante.
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4)
Vn=Un/(1+Un)
V(n) + V(n).U(n) = U(n)
U(n).(1-V(n)) = V(n)
U(n) = V(n)/(1-V(n)
Supposons V1 = 1/2 et Vn convergeant vers 1.
lim(n->oo) U(n) = oo et Un diverge
--> FAUX
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Sauf distraction.
Bonjour, est ce qu'il serait possible de plus detailler/expliquer la 4) ?
je ne comprend pas tres bien :s
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