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Les suites
Bonjour
Pouvez vous m'aider à résoudre les questions 1 et 2 de cet exercice.
Par avance merci.
Exercice.
La suite (Un) est définie par U1 = -1 et pour tout entier n non nul :
Un+1 = ((n) / 2(n + 1)) * Un + (3(n + 2)) / ((2(n + 1))
1. Prouver en raisonnant par récurrence, que la suite (Un) est majorée par 3.
2. Etudier le sens de variation de (Un). Déduisez-en que (Un) est convergente.
Salut
Raisonnement par recurrence
pour n=1 U1=-1=<3 donc pour n=1 ok
IL FAUT FAIRE AUSSI n=2
U2=1/4*-1+9/4=2 donc n=2 ok
soit n entier naturel non nul tel que Un=<3
on regarde Un
Un+1=< n/2(n+1)*Un+(3/2)*(n+2)/(n+1)
Un+1=<(3/2)*n/(n+1)+(3/2)*(n+2)/(n+1) d'apres hympothese de recurrence.
Un+1=<((3/2)/(n+1))*(2n+2)=3 car n<>-1
d'ou si c'est vrai pour n c'est vrai pour n+1
d'ou pour tout n>=1 Un=<3
A=Un+1-Un=(3/2)*(n+2)/(n+1)+((n/(2(n+1)))-1)Un
A=(3/2)*(n+2)/(n+1)-((n+2)/(2(n+1))Un
A=((1/2)*(n+2)/(n+1))*(3-Un)
3>=Un 3-Un>=0
D'ou A>=0
(Un) est donc croissante.
(Un) est croissante et majorée (cours)=> elle est convergente.
Remarque(hors exercice) la limite est 3.
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