bonjour

la forme explicite, je pense que tu fais erreur sur sa définition.

voici un exemple de suite définie par sa forme explicite (ou terme général):
v_n = 3*n+4

si tu souhaites calculer v₃₀, tu peux calculer directement
v₃₀ = 3*30+4 = 94

---

la suite, dans ton exo
(un) :  { u0 = 4 /  u_n+1 = -3 + 3u_n
est bien définie par récurrence :

en effet, on définit un terme -   u_n+1  -  en fonction de son précédent  - u_n -
==> pour calculer u₃₀, par ex. tu dois calculer u₁, u₂, u₃, etc. jusqu'à u₃₀
un peu fastidieux !

comprends-tu bien la différence entre ces 2 exemples ?


c'est pourquoi l'exercice va te guider à trouver la forme explicite de la suite (u_n)

Pour calculer u1, je dois remplacer n par 1 . ---- oui !

remplace TOUS les n par 1 dans  l'égalité  u_n+1 = -3 + 3u_n
qu'obtiens-tu ?

Bonjour
Je ne fais que passer .

Pour calculer U₁ , tu peux prendre l'expression de U_n+1 et remplacer les U_n par U₀ .

Par exemple :  U_n+1 = -3 + 3U_n
                                 U_n+1 = -3 + 3U₀

Excusez moi carita je ne vous ai pas vue .

bonjour foq
pas de souci !

de plus, tu m'as obligée à me relire... j'ai dit une betise

Je trouve ceci :
u₀ = -3 + 3 * 0 = -3

Quand j'ai lu votre message . Je pensé que j'ai fait une faute mais non , j'étais confus .

Non ! Devoirs33

U₀ tu là déjà U₀=4 .

Mais pourquoi dois-je remplacer par 0 sachant que U_o est déjà évoqué dans l'énoncé ?

Un+1 = -3 + 3Un
Un+1 = -3 + 3* 4 = 9

dans une suite définie par récurrence,
on définit un terme -   un+1  -  en fonction de son précédent  - un -

u₀ est le terme précédent u₁
donc on va utiliser u₀ pour calculer  u₁


remplace TOUS les n par 0 dans  l'égalité  u_n+1 = -3 + 3u_n

sur le brouillon, on écrit :
u_n+1 = -3 + 3u_n
u₀₊₁ = -3 + 3u₀   ---- on choisit n= 0
u₁ = -3 + 3u₀

or d'après la définition de la suite,  u₀ = 4

donc  u₁ =.....?

carita

u1 = -3 + 3u0
u1 = -3 + 3 * 4 = 9

" ps : as-tu compris la différence entre forme récurrente et forme explicite ? "

Je différencie la forme récurrente par U_n+1 =...
et la forme explicite par U_n = ...

forme récurrente (simple) : on définit un terme en fonction du terme précédent , c'est-à-dire u_n+1 en fonction de u_n

forme explicite ; on définit un terme de rang n  directement en fonction de l'indice n  (et non pas d'un autre terme de la suite)

---

u₂ = ...

Je trouve ceci-ci :

u2 = -3 + 3 * u1
u2 = - 3 + 3 * 9  = 24

u3 = -3 + 3 * u2
u3 = -3 + 3 * 24 = 69

u4 = -3 + 3 * u3
u4 = -3 + 3 * 69 = 204

bravo !

la suite (v_n) à présent...

Exprimer v_n+1 en fonction de v_n

Je pense à faire : v_n+1 = -3 / 2 + u_n+1

bon début
remplace u_n+1 par sa définition, puis réduis ce que tu peux
que trouves-tu ?

D'accord, je poursuis.

Je trouve : v_n+1 = -3 / 2 + ( -3 + 3u_n)
= -9/ 2 + 2 u_n

Désolée j'ai fait une erreur !
C'est -9 / 2 + 3 Un

3 est devenu 2 ?
hormis cette erreur de frappe, c'est juste



observe à présent les 2 égalités en bleu :  par quoi peux-tu factoriser
pour exprimer v_n+1 en fonction de v_n ?

Je peux le factoriser par -3/2

Nous avons dit que V_n+1 en fonction de v_n est :

-9/2 + 3u_n

Je peux le factoriser par -3/2 --- non, ce n'est pas -3/2



dans (2), tu as trois fois u_n,   et


on peut donc factoriser par ...?

d'où
  en fonction de v_n

-9 / 2 = 3* (-1,5)

On peut factoriser par -1,5 soit -3/2

d'où v_n+1 = -3/2 * ( 3 - 2u)

aïe aïe, aïe la factorisation... quel point d'achoppement.



quel est le facteur commun entre       et    

essaie à nouveau

n'oublie pas que l'objectif est d'exprimer v_n+1 en fonction de v_n

Le facteur commun est 3

Oui mais nous l'avons trouvé V_n+1

et oui

donc  

et entre les ( ), on reconnait ...?

v_n+1 = 3 * ( -3/2 + u_n) ??

  -3/2 + u_n, c'est l'expression de v_n

oui, et c'est justement de que l'on souhaitait obtenir : v_n+1 en fonction de v_n



on reconnait là une suite …. ? (quelle est sa nature ?)  --- regarde le cours si besoin
de premier terme …. ?
et de raison …. ?
et sa formule explicite (ou son terme général)  est  : ....?  (cours également)

je m'absente un peu.

C'est une suite géométrique de raison r = 3, de premier terme v_n+1

Sa formule explicite est Un = qⁿ * U_o
soit , Un = 3 * 4 = 12 ?

C'est une suite géométrique de raison q = 3 ---  oui  
de premier terme v_n+1 --- non, l'indice du 1er terme ne contient pas n


le 1er terme de la suite (u_n) est u₀=4
donc
le 1er terme de la suite (v_n) est v₀ = ...?

Sa formule explicite est v_n = qⁿ * v₀ --- oui

soit , Un = 3 * 4 = 12 ? --- là tu dis une grosse bétise
il n'y a plus de n ? tous les termes sont égaux à 12, quel que soit n ?
reprends cette partie

Nous n'avons pas V₀,
il faut le calculer en remplaçant n par 0

tout à fait

Je ne sais pas comment le calculer.
Hormis le fais que j'ai la raison q

énoncé : On définit (v_n) la suite définie sur N par

donc l'indice du 1er terme de la suite  (v_n) , c'est 0, le premier entier naturel de l'ensemble N.

carita @ 20-12-2021 à 18:10


le 1er terme de la suite (u_n) est u₀=4
donc
le 1er terme de la suite (v_n) est v₀ = ...?

D'accord

v_n = -3/2 + _u0
v_n = -3/2 + 4 = 5/2

v₀ = -3/2 + u ₀
v₀ = -3/2 + 4 = 5/2

oui
reste à assembler les morceaux:

Sa formule explicite est v_n = qⁿ * v₀

donc  v_n =  ...?

v_n = qⁿ * v₀

V_n = 3 * 5/2 ?

ah ? et l'exposant   n  a disparu ?

ce que tu as écrit signifie que tous les termes de la suite sont constants et égaux à 15/2.

... tu sais bien que c'est faux puisque la suite est géométrique, et de raison 3.

corrige

Mais je n'arrive pas à établir un lien entre :
La raison est de 3
V0 vaut 5/2
l'exposant est n

tu te noies dans un verre d'eau  
il n'y a qu'à remplacer dans la formule :

v_n = v₀ * qⁿ
avec
q=3
v0 = 5/2

donc  v_n =  (5/2) 3ⁿ
---

question suivante : Exprimer u_n seulement en fonction de n.

==> on vient d'exprimer v_n seulement en fonction de n :  v_n = (5/2) * 3ⁿ

or, on a  dans l'énoncé une relation entre u_n et v_n. Laquelle ?

il suffit donc d'exprimer u_n en fonction de v_n
puis...

D'accord
J'ai fait la même chose sauf que j'ai oublié l'exposant

vn =  (5/2) 3n
vn = 5*3ⁿ / 2

Question suivante :

l'énoncé une relation entre un et vn. :

vn =  -3/2 + un

oui donc
un = .... en fonction de v_n
puis
un = .... en fonction de n

==> arrivée là, tu vérifieras ta formule,  voir si tu retrouves bien tes calculs du début avec cette formule
u₀ = 4
u₁ = 9
u₂ = 24