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Les suites
Bonjour, j'ai un dm de maths sur lequel j'ai beaucoup de mal.
Voici l'énoncé : Soit n>ou égal à 2 un entier fixé et soit f définie sur [0;+infini[ par f(x)= (1+x^n)/(1+x)^n
Questions que j'ai faites :
1. (a) Montrer que f est dérivable sur [0;+infini[ et déterminer sa dérivée.
(b) Étudier le signe de f'(x) et montrer que f atteint un minimum sur [0;+infini[ que l'on déterminera.
Questions que je n'arrive pas à faire :
2. (a) En déduire l'inégalité suivante : (1+x)^n <ou égal à 2^n-1 (1+x^n) pour tout x>ou égal à 0.
(b) Montrer que, si x et y sont des réels positifs ou nuls, on a :
(x+y)^n <ou égal à 2^n-1(x^n+y^n)
Pour la 2(a) j'ai trouvé que l'inégalité de départ était f(x) >ou égal à 2^-n+1 (car 2^-n+1 est le minimum de f que j'ai trouvé a la question 1.(b). Seulement je n'arrive pas à aller plus loin et a retomber sur l'inégalité demandée...
J'espère donc que quelqu'un aura un petit peu de temps à me consacrer pour m'aider sur cette question et la suivante. Merci d'avance
Oui en effet je n'avais pas pensé à ça. Mais je ne vois pas à quel moment ça peut me servir.
Je suis arrivée jusque là et apres je ne sais plus comment faire (peut-être que je me trompe dès le départ) :
f(x)>2^-n+1
<=> (1+x^n)/(1+x)^n > 2^-n+1
<=> ((1+x^n)/(1+x)^n) * 1/(1+x^n) < 2^-n+1 * 1/(1+x^n)
<=> (1+x)^n < 2^-n+1 * 1/(1+x^n)
Je ne sais pas si c'est correct jusqu'ici..
Oui en effet je n'avais pas pensé à ça. Mais je ne vois pas à quel moment ça peut me servir.
(1+xn)/(1+x)n
1/2n-1
Que cela donne-t-il si tu multiplies membre à membre par 2n-1, puis par (1+x)n, quantités que tu sais positives ?
..
Je ne comprends pas vraiment ce que je dois multiplier.
Si je multiplie par 2^n-1 le côté droit de l'inéquation j'obtiens 2^n-1/2^n-1 mais de l'autre côté je ne vois pas ce que ça donne
Ah si c'est bon je tombe bien sur l'inequation de l'énoncé! En revanche le signe de l'inequation n'est pas correct
(1+xn) / (1+x)n
1/2n-1
je multiplie membre à membre par 2n-1
2n-1*(1+xn)/(1+x)n 1
je multiplie membre à membre par (1+x)n
2n-1*(1+xn) (1+x)n
le sens de l'inégalité étant conservé puisqu'on multiplie par des quantités positives
dans le message précédent, j'ai mis un au lieu de
Merci beaucoup c'est très clair pour moi maintenant grâce a vos explications.
Acceptez-vous de m'aider pour la (b) ? Parce que là je ne vois pas du tout par où commencer...
Bonjour,
Pour 2b) :
- Si est positif et
nul, c'est quasi immédiat.
- Prenons maintenant positif et
strictement positif. Alors
est positif, et donc d'après la question précédente
et en mettant au même dénominateur on arrive rapidement à ce qui est demandé.
Sauf erreur. Vérifie ! 
Bonjour, tout d'abord merci pour votre aide.
Seulement quand je mets au même dénominateur je dois faire une erreur quelque part car je tombe au final sur
x^n < 2^n-1 x^n
Relis mon post de 16:51. Dans un premier temps je me suis placé dans le cas où y = 0.
Et donc dans ce cas c'est réglé, non ?
Et maintenant on se place dans le cas où y > 0 (voir la suite de16:51)
Pour tout te dire j'avais d'abord procédé ainsi mais je me suis rendu compte que ça ne marchait pas pour y = 0 et donc j'ai examiné ce cas particulier à part
Je vais paraître bête mais je ne comprends pas... J'ai beau essayé je tombe à chaque fois sur
x^n < 2^n-1 < x^n
On reprend :
On veut démontrer que pour tout x et tout y positifs on a :
1) Cas où y = 0
On veut donc démonter que pour tout x positif , ce qui est immédiat puisque
2) cas où y > 0
On sait d'après la question 2.a) que pour tout a positif.
En posant a = x/y cette inégalité s'écrit :
soit encore
et il vient .
Et c'est fini.
Je m'absente plusieurs jours. J^'espèreq ue tu vas t'en sortir. Sinon d'autres te présenteront d'autres approches peut-être plus claires.
Bon week-end.
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