Bonjour,
Voici mon exercice :
Sur un cercle, on dispose dans l'ordre n points A1, A2,..., An où n est un entier naturel supérieur ou égal à 3. On obtient alors un polygone inscrit dans le cercle.
Sur la figure ci-dessous construite pour n = 6, on a tracé le polygone de sommets A1, A2, ... , A6
On cherche à déterminer le nombre Dn de diagonales d'un tel polygone.
1. a. Déterminer les valeurs de Dn pour n allant de 3 à 6.
b. Déterminer alors deux réels a et b tels que, pour n allant de 3 à 6, Dn = an^2 + bn.
2.a. Déterminer une relation de récurrence entre les nombres Dn+1 et Dn.
b. Déterminer Dn en fonction de n pour tout n supérieur ou égal à 3.
Merci à tous par avance !
Bonjour,
j'ai un dm de maths à rendre mais je suis vraiment bloquée sur l'exercice et je ne comprends vraiment pas j'espere que vous pourrez m'aider
Sur un cercle, on dispose dans l'ordre n points A1, A2,..., An où n est un entier naturel supérieur ou égal à 3. On obtient alors un polygone inscrit dans le cercle.
Sur la figure ci-dessous construite pour n = 6, on a tracé le polygone de sommets A1, A2, ... , A6
On cherche à déterminer le nombre Dn de diagonales d'un tel polygone.
1. a. Déterminer les valeurs de Dn pour n allant de 3 à 6.
b. Déterminer alors deux réels a et b tels que, pour n allant de 3 à 6, Dn = an^2 + bn.
2.a. Déterminer une relation de récurrence entre les nombres Dn+1 et Dn.
b. Déterminer Dn en fonction de n pour tout n supérieur ou égal à 3.
Merci à tous par avance !
*** message déplacé ***
Donc, reprenons :
Tu ne réponds pas à la question.
On te parle de polygones à n points, et on compte les diagonales.
Je te demande :
avec n = 3, c'est quoi comme polygone ? et il a combien de diagonales ?
Merciiii beaucoup !
Ducoup pour la b je comprends pas trop le a et b corresspondent à quoi
Encore merci pour votre aide
Tu as trouvé : D3 = 0 ; D4 = 2 ; D5 = 5 et D6 = 9.
On te demande de trouver deux réels a et b tels que, pour n de 3 à 6, Dn = an² + bn.
Avec n = 3, ça donne : a*3² + b*3 = 0
Avec n = 4, ça donne : a*4² + b*4 = 2
Ces deux équations te donnent un système, à résoudre, pour trouver a et b.
Il ne restera plus qu'à vérifier que la formule fonctionne bien pour n = 4 , 5 et 6.
Bonjour Merci énormement 🙏 pour a = 1/2 b= -3/2
J'ai vérifié pour n = 4, 5, 6 je trouve le bon résultat
désolé de déranger, mais j'ai beau chercher pour la question suivante je n'arrive pas à trouver la relation qu'on me demande 😕
en fait je veux dire que par exemple de d3 a d4 on rajoute 2 puis de d4 à d5 on rajoute 3 à 5 et de d5 à d6 on rajoute 4 à 5
Bon allez, cadeau :
Lorsque l'on passe d'un polygone à n côtés à un polygone à n+1 côtés, on ajoute 1 sommet.
En reliant ce sommet à tous les autres (les n précédents), on crée n-2 nouvelles diagonales (les segments reliant ce nouveau sommet à tous les autres, sauf les deux sommets adjacents à ce nouveau, qui ne sont que des côtés).
Ainsi, on a : Dn+1 = Dn + n-2
Compris ?
Pour la dernière question je me demander il faut que je démontre par récurrence la reponse de la 1b avec la 2a et que je me serve de la 1a pour l'initialisation ?
Tu peux faire ça ; ou alors :
à partir de Dn = an² + bn, exprime Dn+1 en fonction de n, et vérifie qu'alors on a bien Dn+1 = Dn + n-2
j'ai essayé de partir de Dn = an^2 +bn
D(n+1) = a( n+1 )^2 + b(n+1)
= a ( n^2 + 2n + 1 )+ bn + b
= an^2 +2an +a +bn +b
mais du coup je trouve
= Dn + 2an +b
Oui excuses, je voulais dire :
à partir de Dn = 1/2n² - 3/2n (car tu as trouvé a = 1/2 b= -3/2), exprime Dn+1 en fonction de n, et vérifie qu'alors on a bien Dn+1 = Dn + n-2
j'ai fait : Dn+1 = 1/2(n+1)^2-(3/2)(n+1)
= 1/2(n^2+2n+1)-(3/2)n - 3/2
= (1/2)n^2 + (1/2 )2n +1/2 -(3/2)n - 3/2
= Dn + n - 1
mais je suis sencé trouver - 2
Je viens de comprendre : la formule Dn =1/2n² - 3/2n est correcte, mais c'est effectivement Dn+1 = Dn + n - 1 et non Dn+1 = Dn + n - 2.
Explication :
Lorsque l'on passe d'un polygone à n côtés à un polygone à n+1 côtés, on ajoute 1 sommet.
En reliant ce sommet à tous les autres (les n précédents), on crée n-2 nouvelles diagonales (les segments reliant ce nouveau sommet à tous les autres, sauf les deux sommets adjacents à ce nouveau, qui ne sont que des côtés), tandis que l'un des côtés du polygone initial devient une nouvelle diagonale.
Tu peux le vérifier en passant de n=4 à n=5 par exemple).
Ainsi, on a : Dn+1 = Dn + n-2 + 1 soit Dn+1 = Dn + n - 1.
ahh oui je vois et du coup pour la dernière question je mets eulement ce que j'ai marqué ça suffit ?
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