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Les suites

Posté par
456DEF
30-12-20 à 12:34

Bonjour, j'ai cet exercice à faire sur les suite mais je n'arrive pas à le finir. Pouvez-vous regarder si ce que j'ai fait est juste mais aussi m'aider à le finir ?

Enoncé :
Pour tout entier naturel n, on considère la suite (Un) définie par U_{0}=2 et U_{n+1}=b\sqrt{U_{n}} où b est une constante réelle appartenant à l'intervalle \left[\sqrt{2};+\infty \right[.

Questions + réponses :
1) Démonter par récurrence que, pour tout entier naturel n, 1Unb2
P_{n}:
initialisation : P_{0}: U_{0}=2 et 1\leq 2\leq \sqrt{2}
Donc P0 est vraie.
Hérédité : Supposons que Pn est vraie au rang n. Montrons alors que Pn+1 est vraie soit 1\leq U_{n+1}\leq b^{2}
On a : 1\leq U_{n}\leq b^{2}
b\leq b*U_{n}\leq b^{3}
b\sqrt{U_{n}}\leq b*U_{n}^{2}\leq b^{3}*\sqrt{U_{n}}
et après je ne n'arrive pas à finir

2a) Montrer que, pour tout entier naturel n, U_{n+1}-U_{n}=(b-\sqrt{U_{n}})\sqrt{U_{n}}
U_{n+1}-U_{n}=(b*\sqrt{U_{n}})-U_{n}=(b-\sqrt{U_{n}})(\sqrt{U_{n}})^{2}=(b-\sqrt{U_{n}})\sqrt{U_{n}}

b) En déduire le sens de variation de la suite (Un). Justifier.
Ici je ne sais pas comment faire

3) Démontrer que la suite (Un) converge et calculer sa limite.
Ici je ne sais pas non plus

J'espère que vous allez pouvoir m'aider. Merci d'avance

Posté par
Lena112
re : Les suites 30-12-20 à 12:39

Bonjour !

Pour l'initialisation es tu sur que racine de 2 est supérieur à 2 ? Je n'en suis pas convaincue....

Posté par
456DEF
re : Les suites 30-12-20 à 12:42

ah mais j'ai oublié le carré comme c'est b2 c'est \sqrt{2}^{2} du coup ça fait 2 donc c'est juste

Posté par
Lena112
re : Les suites 30-12-20 à 12:48

Ensuite, pour l'hérédité ta première ligne est bonne mais après tu devrais commencer par appliquer la fonction racine (sans changer les inégalités car la fonction est croissante...).

On a alors 1<racine(un)<b, multiplie ensuite par b sans changer les inégalités car b est positif.

Tu peux alors conclure par transitivité😊

Après tu deduis ton sens de variation par rapport au signe de la différence (un+1)-un. Tu la trouveras alors croissante ou décroissante a toi de voir mais en tout cas elle est monotone ! La question d'avant tu as montré par récurrence que la suite est bornée, que peux tu dire sur la convergence ?

Bon courage !

Posté par
Lena112
re : Les suites 30-12-20 à 12:48

Ah d'accord avec le carré c'est mieux

Posté par
456DEF
re : Les suites 30-12-20 à 13:02

Lena112 @ 30-12-2020 à 12:48

Ensuite, pour l'hérédité ta première ligne est bonne mais après tu devrais commencer par appliquer la fonction racine (sans changer les inégalités car la fonction est croissante...).

On a alors 1<racine(un)<b, multiplie ensuite par b sans changer les inégalités car b est positif.

Tu peux alors conclure par transitivité😊

Après tu deduis ton sens de variation par rapport au signe de la différence (un+1)-un. Tu la trouveras alors croissante ou décroissante a toi de voir mais en tout cas elle est monotone ! La question d'avant tu as montré par récurrence que la suite est bornée, que peux tu dire sur la convergence ?

Bon courage !

alors j'ai pas tout compris notammenet la transitivité
et pour l'hérédité est ce que ça serait :1\leq Un\leq b^{2}
\sqrt{Un}\leq*\sqrt{Un}* Un\leq b^{2}*\sqrt{Un}
b*\sqrt{Un}\leq*b*\sqrt{Un}* Un\leq b^{3}*\sqrt{Un}
1\leq Un+1\leq*b*\sqrt{Un}* Un\leq b^{3}*\sqrt{Un}

Posté par
456DEF
re : Les suites 30-12-20 à 13:06

Pour le sens de variation est ce qu'il faut que je prenne chaques termes et que je dise s'ils  sont positifs ou négatifs. Et si tout  est positif alors elle est croissante ou inversement

Posté par
Lena112
re : Les suites 30-12-20 à 13:29

L'hérédité non, et je t'explique la transititvité.

1<un<b^2
1<racine (un) <b
b< b*racine (un) <b^2
b<un+1< b^2
1<un+1<b^2.

La transititvité c'est ce qui explique le passage de l'avant derniere ligne à la dernière ligne.
un+1 est supérieur à b, or b est supérieur à racine de 2 d'après l'énoncé. Et 1 est inférieur à racine de 2. Pour conclure, si un+1 est supérieur à b comme b est supérieur à 1 un+1 est supérieur à 1.

1<racine de 2<b<un+1 donc 1<un+1 c'est plus clair comme ca je pense. As tu compris ?

Posté par
456DEF
re : Les suites 30-12-20 à 13:32

Ah ok merci en fait je connaissais mais je savais pas que cela s'appelé la transitivité

Posté par
Lena112
re : Les suites 30-12-20 à 13:35

Quant au sens de variation, pour l'expression de la différence u(n+1)-un on te donne une expression sous la forme d'un produit.

Tu vas alors étudier, le signe de chacun des facteurs et conclure à l'aide de la regle des signes sur le signe du produit.

-Quel est le signe de racine de un ? Tu as la réponse avec la définition de la racine carrée.

-Quel est le signe de b-racine (un)?

Si par exemple tu trouves u(n+1)-un<0 ca signifie que u(n+1)<un donc que la suite est décroissante


Suis je claire ?

Posté par
Lena112
re : Les suites 30-12-20 à 13:36

D'accord de rien !

Posté par
456DEF
re : Les suites 30-12-20 à 13:39

Lena112 @ 30-12-2020 à 13:35

Quant au sens de variation, pour l'expression de la différence u(n+1)-un on te donne une expression sous la forme d'un produit.

Tu vas alors étudier, le signe de chacun des facteurs et conclure à l'aide de la regle des signes sur le signe du produit.

-Quel est le signe de racine de un ? Tu as la réponse avec la définition de la racine carrée.

-Quel est le signe de b-racine (un)?

Si par exemple tu trouves u(n+1)-un<0 ca signifie que u(n+1)<un donc que la suite est décroissante


Suis je claire ?


racine (Un) >0  mais on ne peut pas définir le signe de b-racine (Un)

Posté par
Lena112
re : Les suites 30-12-20 à 13:42

Ah bon, pourquoi ? b tu connais son signe non ? La valeur minimale que peut prendre b c'est racine de 2 on est d'accord ? Si tu lui retranches quelque chose de positif ca donne quoi ?

Posté par
Lena112
re : Les suites 30-12-20 à 13:45

D'après, l'hérédité tu as 1<racine (un) < b.
Donc b-racine (un) c'est quel signe ?

Posté par
456DEF
re : Les suites 30-12-20 à 13:47

b>0  
ça dépend si le 2ème terme et plus petit ou non que le premier

Posté par
Lena112
re : Les suites 30-12-20 à 13:47

Tu prends un nombre positif, tu lui retranches un nombre inférieur et positif. Est ce que ca change de signe ?

Exemple: b=48 je lui soustrait un nombre inférieur et positif  23 par exemple.

48-23 =25 ca reste positif.

Posté par
456DEF
re : Les suites 30-12-20 à 13:48

b-racine(un) est positif

Posté par
456DEF
re : Les suites 30-12-20 à 13:49

Lena112 @ 30-12-2020 à 13:47

Tu prends un nombre positif, tu lui retranches un nombre inférieur et positif. Est ce que ca change de signe ?

Exemple: b=48 je lui soustrait un nombre inférieur et positif  23 par exemple.

48-23 =25 ca reste positif.

On est d'accord mais c'est pas le cas tout le temps parce que si racine(Un) est plus grand que b ça va nous donner un nombre négatif

Posté par
Lena112
re : Les suites 30-12-20 à 13:49

Tu l'as montré dans ton hérédité que le deuxième terme est plus petit que le premier. Tu es d'accord ou pas ?
Tu as montré que 1<un< b^2 si j'applique la racine j'ai 1<racine un<b

Posté par
456DEF
re : Les suites 30-12-20 à 13:50

ah mais oui je suis bête du coup (Un) est croissante

Posté par
Lena112
re : Les suites 30-12-20 à 13:51

Non tu n'es pas bete pour autant ! Mais oui un est croissante c'est exact 😊

Posté par
Lena112
re : Les suites 30-12-20 à 13:52

Que dis tu de la convergence maintenant ?

Posté par
456DEF
re : Les suites 30-12-20 à 13:56

3) La suite (Un) est croissante et minorée par 1 donc d'après le théorème des convergences montones, (Un) converges vers un réel l

Posté par
Lena112
re : Les suites 30-12-20 à 13:58

Par contre la question 2 a, tu te compliques un peu la vie non ? Et je ne sais pas si c'est juste un problème en recopiant ou pas mais il y a un petit soucis de parentheses.

b. racine(un)-un. On a un facteur commun qui est racine (un) donc tu factorises sans avoir besoin de carrés.

Racine (un) (b-racine (un)) tu factorises juste.

Posté par
Lena112
re : Les suites 30-12-20 à 13:58

Croissante et majorée c'est mieux non ?

Posté par
Lena112
re : Les suites 30-12-20 à 13:59

Mais le theoreme est le bon ! 😊

Posté par
456DEF
re : Les suites 30-12-20 à 14:01

Mais y'a pas de facteur commun vu qu'il y a que une seule racine (un)

Posté par
Lena112
re : Les suites 30-12-20 à 14:01

Un=racine(un) *racine(un)

Posté par
456DEF
re : Les suites 30-12-20 à 14:01

Lena112 @ 30-12-2020 à 13:59

Mais le theoreme est le bon ! 😊

elle est majoré b2 du coup

Posté par
456DEF
re : Les suites 30-12-20 à 14:02

Lena112 @ 30-12-2020 à 14:01

Un=racine(un) *racine(un)

bah c'est ce que j'ai écrit Un=racine(un) *racine(un)=racine(un)²

Posté par
Lena112
re : Les suites 30-12-20 à 14:05

Oui oui c'est très bien ce que tu as fait , c'est juste que tu te compliques à l'ecrire. Tu as réussi les dernieres questions ?

Posté par
Lena112
re : Les suites 30-12-20 à 14:06

Quelle est la limite ?

Posté par
456DEF
re : Les suites 30-12-20 à 14:07

pour la limite il faut que je calcule le reel l ?

Posté par
456DEF
re : Les suites 30-12-20 à 14:09

soit lim un+1=lim un = l donc lim  bracine(Un)=bracine(l)=l

Posté par
Lena112
re : Les suites 30-12-20 à 14:13

C'est une bonne idée oui ! Mais précise que c'est par unicité de la limite que lim un+1=lim un.

Posté par
456DEF
re : Les suites 30-12-20 à 14:15

du coup je prends racine(2) comme valeur de b
l=racine(2)racine(l)
-racine(2)=racine (l)
l=-2 ?

Posté par
Lena112
re : Les suites 30-12-20 à 14:17

Pourquoi b serait égal à racine de 2, fais le dans le cas général garde b.

b racine(l) =l c'était très bien !

Maintenant isole l.

Posté par
456DEF
re : Les suites 30-12-20 à 14:19

racine(l)-l=b

Posté par
Lena112
re : Les suites 30-12-20 à 14:19

En plus, un tu as montré que c'est toujours supérieur à 1, la limite ne peut être -2

Posté par
456DEF
re : Les suites 30-12-20 à 14:20

Lena112 @ 30-12-2020 à 14:19

En plus, un tu as montré que c'est toujours supérieur à 1, la limite ne peut être -2

c'est pas faux

Posté par
Lena112
re : Les suites 30-12-20 à 14:20

B^2*l=l^2 j'ai mis toute la ligne au carré.
Je divise tout par l:
B^2=l

Posté par
Lena112
re : Les suites 30-12-20 à 14:21

Et ca tombe bien car la suite est majorée par b^2 !!

Posté par
456DEF
re : Les suites 30-12-20 à 14:23

ah ok merci beaucoup pour votre aide

Posté par
456DEF
re : Les suites 30-12-20 à 14:23

à bientôt et passez de bonne fête

Posté par
Lena112
re : Les suites 30-12-20 à 14:24

De rien c'était un plaisir ! Bonnes fêtes également et bonne continuation 😊

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