Bonjour, j'ai cet exercice à faire sur les suite mais je n'arrive pas à le finir. Pouvez-vous regarder si ce que j'ai fait est juste mais aussi m'aider à le finir ?
Enoncé :
Pour tout entier naturel n, on considère la suite (Un) définie par et où b est une constante réelle appartenant à l'intervalle .
Questions + réponses :
1) Démonter par récurrence que, pour tout entier naturel n, 1Unb2
initialisation : et
Donc P0 est vraie.
Hérédité : Supposons que Pn est vraie au rang n. Montrons alors que Pn+1 est vraie soit
On a :
et après je ne n'arrive pas à finir
2a) Montrer que, pour tout entier naturel n,
b) En déduire le sens de variation de la suite (Un). Justifier.
Ici je ne sais pas comment faire
3) Démontrer que la suite (Un) converge et calculer sa limite.
Ici je ne sais pas non plus
J'espère que vous allez pouvoir m'aider. Merci d'avance
Bonjour !
Pour l'initialisation es tu sur que racine de 2 est supérieur à 2 ? Je n'en suis pas convaincue....
Ensuite, pour l'hérédité ta première ligne est bonne mais après tu devrais commencer par appliquer la fonction racine (sans changer les inégalités car la fonction est croissante...).
On a alors 1<racine(un)<b, multiplie ensuite par b sans changer les inégalités car b est positif.
Tu peux alors conclure par transitivité😊
Après tu deduis ton sens de variation par rapport au signe de la différence (un+1)-un. Tu la trouveras alors croissante ou décroissante a toi de voir mais en tout cas elle est monotone ! La question d'avant tu as montré par récurrence que la suite est bornée, que peux tu dire sur la convergence ?
Bon courage !
Pour le sens de variation est ce qu'il faut que je prenne chaques termes et que je dise s'ils sont positifs ou négatifs. Et si tout est positif alors elle est croissante ou inversement
L'hérédité non, et je t'explique la transititvité.
1<un<b^2
1<racine (un) <b
b< b*racine (un) <b^2
b<un+1< b^2
1<un+1<b^2.
La transititvité c'est ce qui explique le passage de l'avant derniere ligne à la dernière ligne.
un+1 est supérieur à b, or b est supérieur à racine de 2 d'après l'énoncé. Et 1 est inférieur à racine de 2. Pour conclure, si un+1 est supérieur à b comme b est supérieur à 1 un+1 est supérieur à 1.
1<racine de 2<b<un+1 donc 1<un+1 c'est plus clair comme ca je pense. As tu compris ?
Quant au sens de variation, pour l'expression de la différence u(n+1)-un on te donne une expression sous la forme d'un produit.
Tu vas alors étudier, le signe de chacun des facteurs et conclure à l'aide de la regle des signes sur le signe du produit.
-Quel est le signe de racine de un ? Tu as la réponse avec la définition de la racine carrée.
-Quel est le signe de b-racine (un)?
Si par exemple tu trouves u(n+1)-un<0 ca signifie que u(n+1)<un donc que la suite est décroissante
Suis je claire ?
Ah bon, pourquoi ? b tu connais son signe non ? La valeur minimale que peut prendre b c'est racine de 2 on est d'accord ? Si tu lui retranches quelque chose de positif ca donne quoi ?
Tu prends un nombre positif, tu lui retranches un nombre inférieur et positif. Est ce que ca change de signe ?
Exemple: b=48 je lui soustrait un nombre inférieur et positif 23 par exemple.
48-23 =25 ca reste positif.
Tu l'as montré dans ton hérédité que le deuxième terme est plus petit que le premier. Tu es d'accord ou pas ?
Tu as montré que 1<un< b^2 si j'applique la racine j'ai 1<racine un<b
3) La suite (Un) est croissante et minorée par 1 donc d'après le théorème des convergences montones, (Un) converges vers un réel l
Par contre la question 2 a, tu te compliques un peu la vie non ? Et je ne sais pas si c'est juste un problème en recopiant ou pas mais il y a un petit soucis de parentheses.
b. racine(un)-un. On a un facteur commun qui est racine (un) donc tu factorises sans avoir besoin de carrés.
Racine (un) (b-racine (un)) tu factorises juste.
Oui oui c'est très bien ce que tu as fait , c'est juste que tu te compliques à l'ecrire. Tu as réussi les dernieres questions ?
Pourquoi b serait égal à racine de 2, fais le dans le cas général garde b.
b racine(l) =l c'était très bien !
Maintenant isole l.
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