Niveau Préparation CRPE

Les suites

Posté par
bouchaib 25-02-21 à 14:42

Bonjour,
je voudrais de l'aide pour la dernière question de cet exercice,
On considère La suite (u_n)_nN  définie par u₀=2  et

$\forall n\in \mathbb{N}   u_{n+1}=\frac{5u_{n}}{2u_{n}+3}$ ,

1-Montrer par récurrence que n, u_n>1

2
      a-Montrer que nN,

$u_{n+1}-u_{n}=\frac{2u_{n}(1-u_{n})}{2u_{n}+3}$ ,  en déduire que  (u_n)_nN est  décroissante.
      b-la suite (u_n)_nN est- elle convergente?
3  soit La suite (v_n)_n définie par : $\forall n\in \mathbb{N} , \mathit{v_{n}}=\frac{u_{n}-1}{u_{n}}$
  a- Montrer que (v_n) est une suite géométrique de raison 3/5
  b- calculer le terme v_n en fonction de n, en déduire que :

$u_{n}=\frac{2}{2-(\frac{3}{5})^{n}}$   et calculer $\lim_{x\rightarrow+\infty}u_{n}$
  c- on pose S_n= v₀+v₁+v₂+------+v_n, montrer que :

     $S_{n}=\frac{5}{4}(1-(\frac{3}{5})^{n+1} )$ ,
  d- Trouver la plus petite valeur de l'entier n vérifiant S_n>1,2.

  S'il vous plait, j'ai répondu à toutes les questions ! je voudrais seulement une réponse rigoureuse pour la question 3-d ( la dernière question ) car je doute de ma réponse,
j'ai tâtonné, n=0  n'est pas une solution pour l'inéquation mais  à n=6 ,
  S_n < 1,2 .
merci par avance.

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