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Les suites

Posté par
emmaa2
02-01-22 à 10:34

Bonjour à tous!
J'ai un DM de mathématiques à rendre dans quelques jours et je ne comprend pas.. merci à ceux qui m'aideront!

Exercice :
On considère la suite (un) dont le premier terme est u0 = -3 et qui est définie par la formule de récurrence un+1 = f(un)
Sachant que la courbe représentative de la fonction f est donnée ci-contre, déterminer la valeur de u2021. (voir le PDF)
Détaillez votre raisonnement.

Merci d'avance à vous.

pdf
PDF - 199 Ko

Posté par
alma78
re : Les suites 02-01-22 à 10:42

Bonjour,
Si u0=-3, que vaut u1=f(u0) ?

Posté par
emmaa2
re : Les suites 02-01-22 à 10:44

Bonjour,
u1 vaudrait 2 ?

Posté par
alma78
re : Les suites 02-01-22 à 10:48

Exact.
Puisque u1=2, que vaut u2=f(u1) ?

Posté par
emmaa2
re : Les suites 02-01-22 à 10:51

Mais si u1 vaut 2, où le place t-on ? sur le  2 de l'axe des ordonnés ?

Posté par
alma78
re : Les suites 02-01-22 à 10:56

La courbe Cf que tu donnes dans le pdf représente la fonction f(x) où x est l'abscisse.
Donc pour trouver f(2), il faut prendre x=2 et lire sur Cf combien vaut l'ordonnée.
Que trouves-tu ?

Posté par
emmaa2
re : Les suites 02-01-22 à 11:02

Et ici f(2) correspond à u2 ?
Donc f(2) = 0 ? Car la courbe passe pile sur le 2 de l'axe des abscisses donc l'axe des x

Posté par
alma78
re : Les suites 02-01-22 à 11:09

Oui, f(2)=0.
On a donc u2=0.
Maintenant combien vaut u3=f(u2)=f(0) ?

Posté par
emmaa2
re : Les suites 02-01-22 à 11:11

u3 vaut -4 ?

Posté par
alma78
re : Les suites 02-01-22 à 11:20

Oui.
Et que vaut u4=f(u3)=f(-4) ?

Posté par
emmaa2
re : Les suites 02-01-22 à 11:28

Je ne trouve pas à chaque fois que c'est sur l'axe des ordonnés je n'arrive pas à trouver l'image
Si j'essaye de reprendre la technique pour u2 où j'ai eu du mal, on cherche -4 sur l'axe des abscisses et on regarde l'image ? On trouverai   u4 = 1 ?

Posté par
alma78
re : Les suites 02-01-22 à 11:31

Oui u4=1
Que vaut u5 ?
Que constates tu ?

Posté par
emmaa2
re : Les suites 02-01-22 à 11:39

u5 = f(u4) = f(1)
On se place sur le 1 des abscisses et on cherche l'image
u5 vaut 2 ?
On remarque que u1 vaut aussi 2 ?

Posté par
alma78
re : Les suites 02-01-22 à 12:09

Faux. u5 ne vaut pas 2.
Regarde mieux sur le graphe.

Les suites

Posté par
emmaa2
re : Les suites 02-01-22 à 12:26

u5 vaut -3.
Et on remarque du coup que u5 = u0 = -3 ?

Posté par
alma78
re : Les suites 02-01-22 à 12:29

Oui, c'est bon cette fois.
Et ta remarque est juste.
Donc il y a un cycle de 5. Au bout de 5 fois on retombe sur ses pattes.
Peux-tu en conclure la valeur de u2021 ?

Posté par
emmaa2
re : Les suites 02-01-22 à 12:33

Ok, merci.
Je ne comprend pas comment on peut trouver u2021 étant donné que si toute les 5 fois on retombe sur la même valeur ? Il faut le déterminer avec une formule ?

Posté par
alma78
re : Les suites 02-01-22 à 12:40

2021 = 5*44 + 1
Donc ?

Posté par
emmaa2
re : Les suites 02-01-22 à 12:43

Le * signifie puissance ?

Posté par
alma78
re : Les suites 02-01-22 à 12:50

Non, le * est le symbole de la multiplication (comme sur ta calculatrice)

Posté par
emmaa2
re : Les suites 02-01-22 à 12:52

Ah oui, mais en faisant 5*44 +1 on trouve 221, pas 2021 donc c'est plutôt 5*404 +1 qui ferait 2021 ?

Posté par
alma78
re : Les suites 02-01-22 à 12:54

On utilise * pour éviter la confusion avec x qui est le symbole que tu as utilisé pour désigner l'abscisse.

Posté par
alma78
re : Les suites 02-01-22 à 12:54

Tu as raison,  j'avais oublié un 0

Posté par
alma78
re : Les suites 02-01-22 à 12:57

Puisque 2021 = 5 * 404 + 1 que vaut u2021 ?

Posté par
emmaa2
re : Les suites 02-01-22 à 13:00

Je ne sais pas.. je suis bloquée.

Le 5 peut représenter le cycle de 5 ?

Posté par
alma78
re : Les suites 02-01-22 à 13:36

Oui, tu as u5=u0, u10=u0, u15=u0, …, u2020=u0
Donc u2021 = ??

Posté par
emmaa2
re : Les suites 02-01-22 à 13:56

u2021 = u1 ?

Posté par
alma78
re : Les suites 02-01-22 à 14:15

Oui
Et comme u1 vaut 2, u2021 vaut ?

Posté par
emmaa2
re : Les suites 02-01-22 à 14:16

u2021 vaut alors 2

Posté par
alma78
re : Les suites 02-01-22 à 14:17

Exact.
Bravo

Posté par
emmaa2
re : Les suites 02-01-22 à 14:19

Merci beaucoup encore une fois !!

Posté par
alma78
re : Les suites 02-01-22 à 14:21

Je t'en prie.
A bientôt sur l'



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