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Les suites
Bonjour à tous!
J'ai un DM de mathématiques à rendre dans quelques jours et je ne comprend pas.. merci à ceux qui m'aideront!
Exercice :
En 2019, la population d'une agglomération est composée de 70 000 habitants au centre-ville et 30 000 habitants en banlieue. La population du centre-ville diminue de 3% par an tandis que la population de la banlieue augmente de 4% par an.
Questions:
1) A l'aide de la méthode de votre choix, déterminer en quelle année la population de la banlieue dépassera celle du centre-ville. Détaillez votre raisonnement.
2) A l'aide de la méthode de votre choix, déterminer en quelle année la population de l'agglomération dépassera 120 000 habitants.
Merci d'avance à vous. 
Eh bien.. j'ai pensé à enlever 3% pour le centre ville? Et ajouter 4% pour la banlieue ? Et on trouverait les populations pour 2020
Oui.
Donc si on a 70000 habitants en centre ville en 2019, combien cela fait-il en 2020 ?
Idem pour la banlieue, on passe de 30000 en 2019 à combien en 2020 ?
Si on a 70 000 habitants en 2019 et que chaque année ce nombre baisse de 3%, alors en 2020 on a 70 000 x (1-3/100) = 70 000 x 0.97 = 67 900 habitants en centre-ville
Si on a 30 000 habitants en banlieue et que ce nombre augmente de 4% par an alors en 2020 on a 30 000 x (1+4/100) = 70 000 x 1.04 = 31 200 habitants en banlieue ?
Si on a 70 000 habitants en 2019 et que chaque année ce nombre baisse de 3%, alors en 2020 on a 70 000 x (1-3/100) = 70 000 x 0.97 = 67 900 habitants en centre-ville —> oui
Si on a 30 000 habitants en banlieue et que ce nombre augmente de 4% par an alors en 2020 on a 30 000 x (1+4/100) = 70 000 x 1.04 = 31 200 habitants en banlieue ? —> oui mais attention, c'est 30000*1.04 et pas 70000*1.04
Et en 2021, qu'obtient on ?
Oui mince, faute d'inattention 
En 2021, on prend le nombre d'habitants de 2020 et on procède comme avant :
Pour le centre-ville : 67 900 x 0.97 = 65 863 habitants.
Pour la banlieue : 31 200 x 1.04 = 32 448 habitants.
Essaye de mettre ça sous forme de suite.
un pour le nombre d'habitants en centre-ville avec u0 = 70000
vn pour le nombre d'habitants en banlieue avec v0 = 30000
On met ça sous la forme d'une suite explicite ou de récurrence ?
Je pencherai vers la récurrence comme on à le terme initial u0 ou v0
Et on répète l'opération jusqu'à combien ?
Pour Vn c'est pareil ?
V0 = 30 000
v1 = 30 000 x (1.04)
v2 = 30 000 x (1.04)2
Donc on aurait pour Un = 70 000 x (0.97) ⁿ
Et pour Vn = 30 000 x (1.04) ⁿ ?
Donc par exemple u6 donnerait = 70 000 x (0.97)⁶ ?
Exact.
Maintenant il faut répondre à la question : « en quelle année la population de la banlieue dépassera celle du centre-ville ? »
Donc je fais différents essais avec différentes puissances.
Je trouve:
u13 : 70 000 x (0.97)¹³ = environ 47 111 habitants pour le centre-ville.
v13 : 30 000 x (1.04)¹³ = environ 49 952 habitants pour la banlieue.
C'est en 2032 que la population de la banlieue dépassera celle du centre-ville ?
Maintenant il reste la question : « déterminer en quelle année la population de l'agglomération dépassera 120 000 habitants. »
Ok, merci beaucoup pour votre aide !
Et oui, déjà en 2019 on voit qu'il y a 100 000 habitants au total dans l'agglomération (70 000+30 000).
Donc pour trouver en quelle année on il y aura 120 000 habitants, il faudrait faire comment ? Calculer les termes des suites ?
Je trouve U29 = 70 000 x (0.97) ²⁹ = environ 28 938 habitants pour centre-ville
et v29 = 30 000 x (1.04) ²⁹ = environ 93 559 habitants pour banlieue
Et 28 938 + 93 559 = 122 497 habitants
Don c'est en 2048 que la population de l'agglomération dépassera les 120 000 habitants. ?
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