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Les suites

Posté par
Devoirs33
14-02-22 à 13:36

Bonjour,

J'aimerai de l'aide concernant un exercice sur les suites type problème s'il vous plaît,merci.

On s'intéresse à l'altitude où se trouve un montgolfière lors d'un vol. Au bout de x secondes, le montgolfière est à f(x) = x3 - 40x² - 3 600x + 144 000 m.

1) Déterminer l'hauteur à laquelle se situe le montgolfière.
a) Lors d'un vol
b) Au bout de 4 secondes.
2)a) Etudier les variations de f sur R+
b) Dresser le tableau de variations avec les données de l'énoncé.
3) On note f'(x) la vitesse instantanée de l'évolution de l'altitude du montgolfière. On le note v(x)
a) Etudier les variations de la vitesse instantanée
b) Commenter les résultats avec les données.
4) Le montgolfière est situé au bord de la mer Noire et souhaite se rapprocher de l'eau. On étudie au moment où il atteint la surface de l'eau.
a) Montrer que f(x) = ( -x + 40)(-x² + 3600)
b) Quand atteint-il la surface de l'eau ?

Ce que j'ai fait :

1) Au bout du vol : f(0) =  40 - 40 * 0² - 3 600 * 4 + 144 000
= 144 000 m
Au bout de 4 s : f(4) = 43 - 40 * 4² - 3 600*4 + 144 000
                                            =  129 024 m

Est-ce cela pour l'instant ?

Merci.

Posté par
jean3
re : Les suites 14-02-22 à 13:45

Il y a un problème avec l'altitude. La montgolfière se trouverait en dehors de l'atmosphère.

Posté par
carita
re : Les suites 14-02-22 à 13:46

bonjour

1) Déterminer l'hauteur à laquelle se situe le montgolfière.
a) Lors d'un vol    --- il ne manque pas quelque chose ici ?

ok pour 1b)

Posté par
carita
re : Les suites 14-02-22 à 13:47

bonjour jean3
bien vu.
je te laisse la main

Posté par
Devoirs33
re : Les suites 14-02-22 à 13:57

C'est un énoncé pas très réaliste
Il ne manque pas de bout d'énoncé, j'ai recopié mot pour mot.

Posté par
carita
re : Les suites 14-02-22 à 14:19

en l'absence de jean3 qui reprend la main dès qu'il le souhaite.

1) Déterminer l'hauteur à laquelle se situe le montgolfière.
a) Lors d'un vol
j'ai recopié mot pour mot. ---  soit, mais alors pourquoi calcules-tu f(0) ?

Posté par
jean3
re : Les suites 14-02-22 à 14:19

Si le dernier terme du polynôme était 144 on aurait des résultats plus réalistes.
Ce qui est étonnant, c'est qu'en développant le produit de facteurs de la question 4 on obtient le même polynôme.

Pour étudier les variations de la fonction f je pense que tu sais dériver un polynôme.

Posté par
Devoirs33
re : Les suites 14-02-22 à 18:30

carita Je calcule f(0) car on ne précise pas la valeur lors du vol.
Donc est-ce correct ou non ?

2)a)jean3 : la dérivée de f(x) :

f(x) = x3-4àx²- 3 600x + 144000

On pose u(x) = x3 alors u'(x) = 3 *x² = 3*2x = 6x
On pose v(x) =-40x² - 3 600x alors v'(x) = -40 * 2x - 3 600 = -80x - 3600
J'utilise ( u - v )' = u' - v'

f'(x) = 6x - 80x - 3 600 ?

Posté par
carita
re : Les suites 14-02-22 à 18:43

Je calcule f(0) car on ne précise pas la valeur lors du vol.
bah non
si la montgolfière est en vol, elle l'est depuis x secondes.
sans autre précision,  la hauteur est f(x) = x³ - 40x² - 3 600x + 144 000.
on ne peut pas en dire plus.

... ou alors un il manque un bout d'énoncé (je ne dis pas de ton fait)
du style a) Lors du démarrage d'un vol

mais cet énoncé est (encore!) vraiment tiré par les cheveux :
avant de 'décoller', donc au temps x=0, l'altitude de la montgolfière serait de 144000m, soit 144km  
on se demande bien d'où elle décolle !

Posté par
carita
re : Les suites 14-02-22 à 18:46

ta dérivée est fausse.

f est une fonction polynôme.
sa dérivée est la somme des dérivées de chacun de ses monômes.

Posté par
Devoirs33
re : Les suites 14-02-22 à 18:47

D'accord, j'en ai parlé à ma professeure qui me dit qu'elle change l'énoncé par un dragon au lieu d'un montgolfière. Mais je doute que cela a un grand impact sur le reste.

Sinon, qu'en pensez-vous pour 2a) concernant la dérivée ?

Posté par
Devoirs33
re : Les suites 14-02-22 à 18:47

D'accord, je refais.

Posté par
Devoirs33
re : Les suites 14-02-22 à 18:48

f'(x) = 3x² - 80x - 3 600 ?

Posté par
carita
re : Les suites 14-02-22 à 18:52

... le dragon  

2)a) Etudier les variations de f sur R+
f(x) = x³ - 40x² - 3 600x + 144 000
f'(x) = 3x² - 80x - 3 600    parfait
que vas-tu faire ensuite ?

Posté par
Devoirs33
re : Les suites 14-02-22 à 18:58

Je calcule son discriminant étant donné que c'est une fonction polynôme du second degré puis je dresse son tableau de variations.

Posté par
carita
re : Les suites 14-02-22 à 19:02

oui, étudie le signe de la dérivée.

question pas inutile : quel est le domaine de définition de f ?
tiens-en compte dans ton tableau de variation

Posté par
Devoirs33
re : Les suites 14-02-22 à 19:04

= b² - 4ac
= (-80)² - 4 * 3* 3 600
= - 36 800

Il n'admet pas de solutions

Elle est définie sur R+ donc de [0 ; + [

x            |   0   +
f'(x)      |   +
f(x)       | croissante

Posté par
carita
re : Les suites 14-02-22 à 19:09

prends la bonne habitude d'écrire ton équation avant d'amorcer sa résolution
f '(x) = 0
3x² - 80x - 3 600 = 0

= b² - 4ac
= (-80)² - 4 * 3* 3 600

c = - 3600
reprends

Posté par
Devoirs33
re : Les suites 14-02-22 à 19:16

= (-80)² - 4 * 3*(- 3 600 )
= 49 600

Il admet 2 solutions

x1 = -b + / 2a

= 80 + 49600/ 2* 3
= 50,25

x2 = -b - / 2a
= 80 - 49600/ 2* 3
= -23,78 ?

Posté par
carita
re : Les suites 14-02-22 à 19:19

valeur arrondie de x1 = 50.45
sur la tableau de variation, on écrira la valeur exacte.

sinon c'est bon
tableau de variation ?

Posté par
Devoirs33
re : Les suites 14-02-22 à 19:24

Elle est définie sur R+ donc de [0 ; + [. Cependant, nous ne devons pas écrire la valeur x2 car étant négative, elle est exclut.

x            |   0   50,45176242 +
f'(x)      |              +         |0|                    +
f(x)       | croissante et croissante

+ car on prend en compte le signe de a

Posté par
carita
re : Les suites 14-02-22 à 19:27

d'accord pour R+, mais pas d'accord pour le signe  de la dérivée

regarde ici, au II
3-Fonctions du second degré : équations, signe et inéquations

ps : par valeur exacte, j'entends avec la racine carrée, simplifiée

Posté par
Devoirs33
re : Les suites 14-02-22 à 19:29

Oui c'est le signe de a | le signe contraire de a | signe de a


Etant donné que x2 ne s'ajoute pas dans le tableau de variations, comment dois-je procéder ?

Posté par
carita
re : Les suites 14-02-22 à 19:31

tes 2 racines (arrondies), sont   -23.78   et 50,25

d'après la règle, le trinome  3x² - 80x - 3 600  est négatif entre ces 2 valeurs

tu sais continuer ?

Posté par
carita
re : Les suites 14-02-22 à 19:32

je confirme que la ligne des x reste celle que tu as dite :  de 0 à +inf

Posté par
Devoirs33
re : Les suites 14-02-22 à 19:33

x            |   0   50,45 +
f'(x)      |              +         |0|            -
f(x)       | croissante et décroissante

Posté par
Devoirs33
re : Les suites 14-02-22 à 19:33

faute de frappe : c'est + dans le tableau

Posté par
carita
re : Les suites 14-02-22 à 19:37

c'est le contraire

3x² - 80x - 3 600  est négatif entre       -23.78   et 50,25  

trace un axe orienté sur ton brouillon

____     -23.78 _______  0 _______50.45 _______ >>
  +                                -                  -                           +                      
                                               |
                                               |  
                                               |        

tu vois ?

Posté par
Devoirs33
re : Les suites 14-02-22 à 19:39

Oui je comprends mieux

x            |   0                 50,45      +
f'(x)      |             -         |0|           +
f(x)       | décroissante et croissante

Posté par
carita
re : Les suites 14-02-22 à 19:45

ok
reste à compléter avec les images
de 0
du minimum , i.e. de f(50.45)
et éventuellement la limite en +inf, si tu as appris.

puis question suivante.

je dois m'absenter, mais je reviendrai lire tes autres réponses.
a+

Posté par
Devoirs33
re : Les suites 14-02-22 à 19:50

f'(x) = 3x² - 80x - 3 600    

f'(0) = 3*0² - 80 * 0 - 3 600 = -3 600
f'(50,45) = - 0,3925

concernant la limite de + l'infini, je ne l'ai pas encore vu en classe mais pouvez-vous le mentionner s'il vous plaît ?

Posté par
carita
re : Les suites 14-02-22 à 20:47

dans le tableau, il faut mettre les images  par f
f(0)
f(50.45)

la limite : lorsque x tend vers +inf, f(x) tend vers +inf  (devient très grand),
ce qui est cohérent avec le fait que la fonction est croissante sur [50.45; +inf[
==> si tu n'a pas encore abordé les limites en classe, ne met rien.

---

pour la valeur exacte de la racine (=50.45)
tu peux (ce serait un plus), simplifier l'expression x_1 = \dfrac{80 - \sqrt{49600}}{6} = ....

commencer par simplifier \sqrt{49600} = \sqrt{100 * ....?}

---

3) On note f'(x) la vitesse instantanée de l'évolution de l'altitude du montgolfière. On le note v(x)
a) Etudier les variations de la vitesse instantanée


on a donc v(x) =  3x² - 80x - 3 600  
variation ?
remarque : tu peux établir sa dérivée et étudier son signe, mais tu n'es pas obligée de faire ainsi.  
tu peux utiliser le cours sur les fonctions trinomes ; regarde cette fiche, au I, § variation
2-Second degré : forme canonique et factorisation

Posté par
carita
re : Les suites 14-02-22 à 20:50

je vais devoir couper; je laisse la main si un autre intervenant passe par là.

à défaut, je reviendrai te lire demain après-midi.
bonne soirée

Posté par
Devoirs33
re : Les suites 14-02-22 à 20:57

D'accord

f(0) = 144 000
f(50,25) = - 11018,1

3) f'(x) = v(x) donc cela revient à la question 2b) ?

Posté par
jean3
re : Les suites 15-02-22 à 09:49

Bonjour
Tu peux étudier les variations de v(x) en dérivant cette fonction.
Tu obtiens une fonction du type ax+b dont il est facile d'étudier le
signe.

Je me permets d'insister :  sur qui as-tu recopié ce problème qui donne   une   vitesse  initiale à la montgolfière de 3600   m/s.

Peux -tu te  faire confirmer  l'énoncé?

Posté par
Devoirs33
re : Les suites 15-02-22 à 16:01

L'énoncé ne contient pas d'erreurs selon la professeure.

v(x) = 3x² - 80x - 3 600
v'(x) = 6x - 80

6x - 80 = 0
6x = 80
x = 80 / 6 = 13,3

Posté par
carita
re : Les suites 15-02-22 à 16:07

bonjour

conserve la valeur exacte, soit 40/3

oui continue

Posté par
Devoirs33
re : Les suites 15-02-22 à 16:14

x            | 0      40/3  +
v'(x)      |  -      |0| +
f'(x))    | décroissant puis croissant

Posté par
carita
re : Les suites 15-02-22 à 16:16

hormis le f '(x) qui est en fait v(x), c'est exact

ense à compléter avec les images par v
de 0
de 40/3

Posté par
Devoirs33
re : Les suites 15-02-22 à 16:22

v(x) =  3x² - 80x - 3 600  

v(0) = 3* 0² - 80 * 0 - 3 600 = - 3 600

v(40/3) = (-155 600)/9 ?

Posté par
carita
re : Les suites 15-02-22 à 16:27

v(0) =  - 3 600 oui

je trouve v(40/3) = -12400/3

Posté par
Devoirs33
re : Les suites 15-02-22 à 16:28

Oui désolée je trouve également le même résultat.

Je me suis trompée en mettant un carré en exposant.

Posté par
Devoirs33
re : Les suites 15-02-22 à 16:40

3b) On me demande de commenter le résultat. Donc je compare v'(x) avec f(x) ?

Posté par
carita
re : Les suites 15-02-22 à 16:47

3b)
commenter signifie interpréter concrètement les résultats (variations de f et de v) dans le contexte de l'exercice.
étant donné que le "contexte" est totalement capillotracté, ça va être difficile...

un dragon qui part de 144km d'altitude, descend en vol en vitesse instantanée négative jusqu'à 11km sous le niveau de la terre à la 50.45eme seconde, pour en ressortir à tire d'aile ... les mots me manquent.
en gros, c'est ça...
s'il passe un dragonnier dans le coin, son aide serait bienvenue ^^

Posté par
carita
re : Les suites 15-02-22 à 16:51

tu peux joindre un graphique...
en vert la trajectoire du vol
en rouge la vitesse instantanée
Les suites

Posté par
Devoirs33
re : Les suites 15-02-22 à 16:53

Les variations de f commencent par être décroissant puis croissant.
C'est également le cas de la variation de v qui commencent par être décroissant puis croissant.

Ils possèdent donc les mêmes variations.

Posté par
jean3
re : Les suites 15-02-22 à 16:59

D'accord pour le calcul. Il nous indique donc une vitesse minimale pour une altitude négative !
Pour 4 a) en développant on retrouve bien la première expression et on va atteindre la surface de l'eau quand la fonction s'annule. C'est pour cela qu'on nous a donné la factorisation.
As-tu parlé de ce problème avec des camarades ?

Posté par
Devoirs33
re : Les suites 15-02-22 à 17:08

4a) f(x)  = (-x+40)(-x²+3600)
                   =x3 - 3 600x - 40 x² + 144 000

Donc cela revient à la première expression de f(x).

Donc 4b)
(-x+40)(-x²+3600) = 0  pour savoir quand le dragon s'approche de l'eau ?

Ce devoir est un entrainement facultatif pour un devoir type BAC donc tout le monde ne le fait pas. En revanche, il n'y aura pas de correction et ce devoir a été résolu par ma professeure.

Posté par
carita
re : Les suites 15-02-22 à 17:21

jean3, tu reprends la main quand tu veux, ok ?

Devoirs33
oui, résoudre cette équation permettra de connaitre les abscisses des points d'intersection entre Cf et (Ox),
et donc les moments (en secondes) où la bestiole rentre puis sort de l'eau.

Posté par
Devoirs33
re : Les suites 15-02-22 à 17:32

D'accord

L'équation admet 3 solutions : une du type ax+b et l'autre c'est une fonction du second degré.

x1 = -60
x2 = 40
x3 = 60

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