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Les suites

Posté par Profil Devoirs33 14-02-22 à 22:19

Bonsoir

J'aimerai de l'aide concernant un exercice sur les suites en guise de révisions.

Soit (un) n une suite définie par u0 = 100 et un+1 = 5un + 80

1) calculer u1 et u2
2) Soit (vn) la suite définie par vn = un + 20

a) Montrer que (vn) est géométrique de raison 5. Calculer v0
b) Montrer que un = -20 + 120 * 5n

3) Soit l'algorithme suivant :
u  <--- 100
n <--- 0
Tant que ...                                                                  
                                                                               n <--- n +1
                                                                               u <--- 5 * u + 80

a) Compléter la 3ème ligne de l'agorithme afinqu'il détermine le plus petit entier n tel que un 1 000 000

b) Donner la valeur de n à la fin de ce calcul.

4) On s'intéresse au volume prit par des grains de mais, à chaque minute. Tout les minutes, il augmente de 5 fois sa taille de départ et on rajoute 80 grains. Un grain mesure 1/32 cm^3 . Au départ, on a 100 grains.

a) Justifie que la suite (un) n permet de modéliser le nombre de grains à la minute n.
b) Le mais atteindra-t-il le volume de 31 250cm^3 dans les 10 minutes qui suivent la préparation ? Justifie
c) Vers quelle valeur semble tendre le volume de mais ?


Ce que j'ai fait:

1)Dès la première question, je rencontre des difficultés.
J'ai u0 = 100 et un+1 = 5 Un + 80

Je veux u1.

Je dois utiliser Un = U0 + n * r
                                 U1 = 100 + 1 * 5 = 105 ?
Faut-il procéder ainsi ?

Posté par
hekla
re : Les suites 14-02-22 à 22:46

Bonsoir Devoirs33

Oui  u_1=5u_0+80= 5\times 100+80=580

u_2=u_{1+1}=5u_1+80=5\times 580+80

Posté par Profil Devoirs33re : Les suites 14-02-22 à 22:51

D'accord

Je trouve u2 = 2 980.

Vous passez de un+1 = 5 Un + 80 à un = 5 u0 + 80

ce sont donc des suites arithmético-géométrique et c'est ainsi qu'il faut procéder ?

Posté par
hekla
re : Les suites 14-02-22 à 22:51

Question 2
on écrit v_{n+1}  en fonction de u_{n+1}  puis la relation de récurrence définissant u_{n+1}

On calcule et on doit pouvoir mettre 5 en facteur. À ce moment-là, on doit  pouvoir reconnaître la définition de v_n

Posté par Profil Devoirs33re : Les suites 14-02-22 à 22:54

J'arrive à faire ceci : vn+1 = un+1 + 20

Posté par
hekla
re : Les suites 14-02-22 à 22:58

La définition de la suite est u_{n+1}=5u_n+80}

je ne passe pas de u_{n+1}=5n+80 à u_n=5u_0+80

si l'on veut les différents termes de la suite il faut donner une valeur à n
On ne peut pas connaître u_9 par exemple si l'on n'a pas u_8  et ainsi de suite.

c'est pour cela que l'on va faire intervenir une suite géométrique qui elle est connue (cours)
et ensuite on va pouvoir avoir directement u_n en fonction de n

Posté par
hekla
re : Les suites 14-02-22 à 22:59

maintenant remplacez u_{n+1} par la définition que vous avez

Posté par Profil Devoirs33re : Les suites 14-02-22 à 23:01

Vn+1 = Un+1 + 20

Vn+1 = 5 Un + 80 + 20

Posté par
hekla
re : Les suites 14-02-22 à 23:02

80+20=

reportez et mettez 5 en facteur

Posté par Profil Devoirs33re : Les suites 14-02-22 à 23:05

Vn+1 = 5 Un + 100

Un = q^n * u0

Vn+1 = 1005 * Un

Posté par
hekla
re : Les suites 14-02-22 à 23:08

Qu'est-ce que vous faites  ?

vous avez v_{n+1}=5n+100

mettez 5 en facteur. Il n'est pas question d'exposant ni de u_0

inutile d'aller chercher midi à quatorze heures

Posté par
hekla
re : Les suites 14-02-22 à 23:09

il faut lire 5 u_n+100

Posté par Profil Devoirs33re : Les suites 14-02-22 à 23:11

D'accord mais on nous demande Vn c'est la raison pour laquelle j'ai mis 5 en exposant

Posté par
hekla
re : Les suites 14-02-22 à 23:13

Patience et longueur de temps font plus que force ni que rage

5 u_n+100=5(\dots +\dots)

Posté par Profil Devoirs33re : Les suites 14-02-22 à 23:15

5Un + 100 = 5 ( Un + 100 )

Posté par
hekla
re : Les suites 14-02-22 à 23:17

Non   on n'a que 100  et non pas 500   100=5\times 20

donc 5u_n+100=5(u_n+\dots)

Posté par Profil Devoirs33re : Les suites 14-02-22 à 23:18

5Un + 100 = 5(Un + 20)

Posté par
hekla
re : Les suites 14-02-22 à 23:21

bien

on a donc   v_{n+1}=5(u_n+20)

  dans la parenthèse je reconnais \dots

je peux donc dire que v_{n+1}=5(\dots  )

Posté par Profil Devoirs33re : Les suites 14-02-22 à 23:24

Je ne suis pas sûre mais :

Je reconnais Un+20 qui vaut Vn.

Je peux donc dire que Vn+1 = 5 Vn   ?

Posté par
hekla
re : Les suites 14-02-22 à 23:25

Exactement

donc (v_n) est  une suite  

Posté par Profil Devoirs33re : Les suites 14-02-22 à 23:27

Donc (Vn) est une suite géométrique de raison 5

Posté par
hekla
re : Les suites 14-02-22 à 23:29

oui et de premier terme

v_n en fonction de n maintenant

Posté par Profil Devoirs33re : Les suites 14-02-22 à 23:31

Vn = 5n * V0

Posté par
hekla
re : Les suites 14-02-22 à 23:33

Certes, mais que vaut v_0

Posté par Profil Devoirs33re : Les suites 14-02-22 à 23:36

V0= U0 + 20
V0 = 1000 + 20 = 1 020 ?

Posté par
hekla
re : Les suites 14-02-22 à 23:39

Il y a un 0 de trop  v_0=100+20=120

maintenant on peut écrire v_n en fonction de n  et répondre à 2 b)

 u_n=

Posté par Profil Devoirs33re : Les suites 14-02-22 à 23:42

Vn = 5n * 120

Posté par
hekla
re : Les suites 14-02-22 à 23:43

Bien et u_n alors ?

Posté par Profil Devoirs33re : Les suites 14-02-22 à 23:45

Un = -20 + Vn

Posté par
hekla
re : Les suites 14-02-22 à 23:46

Certes, mais on ne veut pas de v_n on ne veut qu'en fonction de n.

Posté par Profil Devoirs33re : Les suites 14-02-22 à 23:48

Un = 5n * 100 ?

Posté par
hekla
re : Les suites 14-02-22 à 23:50

Non et que faites-vous du -20 Un peu plus de rigueur

 u_n=-20+120\times 5^n

C'est bien ce que l'on vous demandait à la question 2 b)

Question 3

Posté par Profil Devoirs33re : Les suites 14-02-22 à 23:52

Je ne comprends pas.

Un est déjà donné dans la question 2b)

Posté par
hekla
re : Les suites 15-02-22 à 00:00

On vous demandait de l'établir, c'est bien ce que l'on a fait.
On a commencé par montrer que  (v_n) était une suite
géométrique de raison 5 et de premier terme 120.
Ce qui a permis d'écrire v_n en fonction de n
uniquement et par suite d'écrire u_n

De temps en temps, on donne des réponses pour permettre de continuer le problème.

D'accord ?

Posté par Profil Devoirs33re : Les suites 15-02-22 à 00:01

D'accord merci pour votre aide.
Pouvons-nous poursuivre l'exercice demain si cela ne vous dérange pas s'il vous plaît ?

Bonne soirée.

Posté par
hekla
re : Les suites 15-02-22 à 00:05

Sans problème
Vers quelle heure ce matin 15/02 ?

Posté par Profil Devoirs33re : Les suites 15-02-22 à 00:07

Aux alentours de 7h20.

Ou bien à partir de 15h50.

Encore une fois, merci beaucoup.

Posté par
hekla
re : Les suites 15-02-22 à 00:14

Si cela ne vous fait rien je préfèrerais 15 : 50 ce qui me permettrait de faire quelques courses le matin
De rien
Bonne nuit

Posté par
hekla
re : Les suites 15-02-22 à 15:58

Bonjour Devoirs33

On continue  ?

Posté par Profil Devoirs33re : Les suites 15-02-22 à 16:04

Bonjour,

Bien sûr

Je m'étais arrêtée à la question 2b)

Je passe à 3a)  l'algorithme :

Je dois compléter " tant que ... "

Mais que dois-je faire afin que Un soit supérieure ou égale à 1 00 000 ?

Posté par
hekla
re : Les suites 15-02-22 à 16:11

Ce n'est pas possible, car ainsi l'algorithme ne tournerait pas   puisque vous commencez à 100. Il faut le faire tourner tant que u est inférieur à 1000000

Posté par
hekla
re : Les suites 15-02-22 à 16:14

Désolé, j'ai mal lu. je pensais que vous proposiez u\geqslant 1000000, alors que vous ne faisiez que rappeler le texte.

Posté par Profil Devoirs33re : Les suites 15-02-22 à 16:17

Je n'ai pas compris
Nous n'avions  pas la valeur u

Posté par
hekla
re : Les suites 15-02-22 à 16:24

L'algorithme commence en affectant à u la valeur 100
puis installe le compteur N
maintenant on entre dans la boucle  
on avait 0 il ajoute 1  donc pour N=1 on a u=5\times 100+80
N=1+1 u=5\times 580+80

et la boucle continue

si u dépasse 1000000 alors l'algorithme s'arrête.

Posté par Profil Devoirs33re : Les suites 15-02-22 à 16:29

D'accord

Donc je remplace n par 100 000 ?

Posté par Profil Devoirs33re : Les suites 15-02-22 à 16:48

N= 1 + 1 000 000
u = 5 * U1 000 000+ 80?

Posté par
hekla
re : Les suites 15-02-22 à 16:51

\begin{array}{|*{8}{c|}}\hline n&0&1&2&3&4&5&6\\\hline u&100&580&2980&14980&74980&374980&1874980\\\hline u<1000000&\text{oui}&\text{oui}&\text{oui}&\text{oui}&\text{oui}&\text{oui}&\text{non}\\\hline\end{array}

un exemple de comment fonctionne la boucle

on entre  0 et 100 la condition n'est évidemment pas remplie
donc on passe à 1 etc  

N sera donné en sortie.

l'instruction en ligne 3, c'est bien : tant que u est inférieur à 1 000 000, on continue

Posté par Profil Devoirs33re : Les suites 15-02-22 à 16:58

La question 3a) est finie ? Il fallait juste écrire " tant que u est inférieur à 1 000 000" ?

Dans ce cas, ne fallait-il pas écrire " tant que u est inférieur ou égale à 1 000 000" ?

Posté par
hekla
re : Les suites 15-02-22 à 17:07

j'aurais d'ailleurs dû écrire strictement   le symbole étant < ce que j'ai fait dans le tableau, mais pas dans l'écriture
pour moi inférieur est au sens large  \leqslant

on vous demande quand u_n \geqslant 1000000  donc on doit s'arrêter avant  d'où < 1000000

avec u<1000000  la question 3 a) est résolue

Posté par Profil Devoirs33re : Les suites 15-02-22 à 17:14

D'accord
mais je ne saurais refaire cette question seule.

"compléter la 3ème ligne de l'algorithme afin qu'il détermine le plus petit entier "

Je ne comprends pas cette formulation.

Pourquoi est-ce tant que u < 1 000 000 et non pas Un < 1 000 000 ?

Désolée pour les questions.

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