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les suites aidez moi s il vous plait

Posté par anonyme (invité) 11-03-04 à 12:31

soit la suite (Un) définie par Uo=2 et pour tout entier n,
U(n+1)=1+(2/5)Un
montrer que si Un converge alors sa limite est 5/3
on pose Vn=Un - 5/3   montrer que la suite Vn est géométrique de raison
2/5    
en deduire l'expression de Vn puis de Un en fonction de n. conclure
quant a la convergence de Un

merci bcp

Posté par
J-P Posteur d'énigmes
re : les suites aidez moi s il vous plait 11-03-04 à 14:09

Si Un converge, on a:
lim(n->oo) U(n+1) = lim(n->oo) U(n), appelons L cette limite.

->L = 1 + (2/5)L
L(1 - (2/5)) = 1
L(3/5) = 1
L = 5/3
-----
Posons V(n) = U(n) - (5/3)
V(n+1) = U(n+1) - (5/3)
V(n+1) = 1 + (2/5)U(n) - (5/3)
V(n+1) = -(2/3) + (2/5)U(n)
V(n+1) = (2/5)[U(n) - (2/3)(5/2)]
V(n+1) = (2/5)[U(n) - (5/3)]
V(n+1) = (2/5).V(n)

Vn est donc une suite géométrique de raison 2/5, son premier terme est
V(0) = U(0) - (5/3) = 2 - (5/3) = 1/3
->
V(n) = (1/3).(2/5)^n

U(n) = Vn + (5/3)
U(n) = (5/3) + (1/3).(2/5)^n

Et lim(n->oo) Un = 5/3
-----
Sauf distraction.    



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