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Les suites numériques

Posté par
yassineben200 15-05-21 à 11:22

bonjour, on fait comment pour cette question?
j'ai l'idée classique pour les exercices du type mais celui ci il me semble que ça n'aboutit à rien.
on pose pour n2 I_{n}=\int_{0}^{1}{\frac{e^{t}}{(1+t)^n}dt}
*) In est décroissante et convergente,
*) pour n2 I_{n}=nI_{n+1}+\frac{e}{2^n}-1
*) mq: \frac{1}{n-1}(1-\frac{1}{2^{(n-1)}})\leq I_{n}\leq \frac{e}{n-1}(1-\frac{1}{2^{(n-1)}})

Posté par
lakere : Les suites numériques 15-05-21 à 11:29

Bonjour,

1) En écrivant I_{n+1}-I_n, tu peux montrer que l'intégrande est négative.
  

Posté par
yassineben200re : Les suites numériques 15-05-21 à 11:30

j'ai pas préciser que je veux la question 3)
pardonnez moi

Posté par
yassineben200re : Les suites numériques 15-05-21 à 11:36

pour 3) j'ai du mal à montrer

I_{n}\leq \frac{e}{n-1}(1-\frac{1}{2^{(n-1)}})


pour l'autre coté j'ai pas de problemes

Posté par
lakere : Les suites numériques 15-05-21 à 11:44

Tu peux partir de l'égalité précédente en tenant compte du fait que (I_n) est décroissante.

Posté par
lakere : Les suites numériques 15-05-21 à 11:49

Pour la seconde partie de l'inégalité :

  I_n\leq \int_0^1\dfrac{e}{(1+t)^n}\,\text{d}t

Posté par
yassineben200re : Les suites numériques 15-05-21 à 11:52

c'est exactement ce que j'ai fait mais je trouve un résultat un peu loin de celui demandé
je trouve que : \frac{1}{n-1}(1-\frac{e}{2^n})\leq I_{n} c'est pour cela que j'ai posé la question

Posté par
yassineben200re : Les suites numériques 15-05-21 à 11:53

pour la premiere je trouve ceci

yassineben200 @ 15-05-2021 à 11:52

c'est exactement ce que j'ai fait mais je trouve un résultat un peu loin de celui demandé
je trouve que : \frac{1}{n-1}(1-\frac{e}{2^n})\leq I_{n} c'est pour cela que j'ai posé la question

Posté par
yassineben200re : Les suites numériques 15-05-21 à 11:55

lake @ 15-05-2021 à 11:49

Pour la seconde partie de l'inégalité :

  I_n\leq \int_0^1\dfrac{e<font class='vert'>^t</font>}{(1+t)^n}\,\text{d}t
  ?

Posté par
yassineben200re : Les suites numériques 15-05-21 à 11:57

pardon,

lake @ 15-05-2021 à 11:49

Pour la seconde partie de l'inégalité :

  I_n\leq \int_0^1\dfrac{e}{(1+t)^n}\,\text{d}t
on a e^t

Posté par
yassineben200re : Les suites numériques 15-05-21 à 12:30

j'ai pas encore trouvé la solution..

Posté par
lakere : Les suites numériques 15-05-21 à 12:31

Sur [0,1], e^t\leq e

Posté par
lakere : Les suites numériques 15-05-21 à 12:33

et pour être complet :

sur [0,1], 1\leq e^t\leq e

Posté par
yassineben200re : Les suites numériques 15-05-21 à 12:54

lake merci, mais pour la premiere inégalité aussi j'ai du mal à trouver ..

Posté par
lakere : Les suites numériques 15-05-21 à 12:59

Citation :
sur [0,1], 1\leq e^t\leq e


et du coup : \int_0^1\dfrac{1}{(1+t)^n}\,\text{d}t\leq I_n\leq \int_0^1\dfrac{e}{(1+t)^n}\,\text{d}t

Non ?

Ma première idée à 11h44 n'était pas terrible ...

Posté par
yassineben200re : Les suites numériques 15-05-21 à 13:01

pour la deuxieme inégalité c'est bon .. mais pour la 1ere je suis un peu perdu

Posté par
yassineben200re : Les suites numériques 15-05-21 à 13:02

ah oui merci
donc on ne va pas ser servire de la relation récurrente?

Posté par
lakere : Les suites numériques 15-05-21 à 13:03

C'est effectivement inutile (j'y avais cru au début moi aussi )

Posté par
yassineben200re : Les suites numériques 15-05-21 à 13:03

pardonnez moi je viens de voir votre derniere réponse.
quand j'essaye d'utiliser:

lake @ 15-05-2021 à 11:44

Tu peux partir de l'égalité précédente en tenant compte du fait que (I_n) est décroissante.

je trouve un autre encadrement

Posté par
lakere : Les suites numériques 15-05-21 à 13:05

Et alors ? Il peut fort bien être juste bien que ne répondant pas à la question 3).

Posté par
yassineben200re : Les suites numériques 15-05-21 à 13:43

ah oui ! alors il faut pas toujours penser à

lake @ 15-05-2021 à 11:29

Bonjour,

1) En écrivant I_{n+1}-I_n, tu peux montrer que l'intégrande est négative.
  

pour ce type de questions

Posté par
yassineben200re : Les suites numériques 15-05-21 à 13:47

vous m'avez sauvé


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