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Niveau Maths sup
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Les suites numériques

Posté par
Mathes1 09-12-21 à 10:51

Bonjour à tous
J'ai un exercice merci beaucoup d'avance
•1) Soit la suite de nombres réels (Un) telle que
un+1=\dfrac{1}{2}\left( U_n +\dfrac{a}{U_n}\right) ,, n ≥ 0, u0 > 0, a > 0
Montrer la suite (un) converge et trouver sa limite.
2. Soit la suite de nombres réels définie par un+1 = arctan(un) avec u0 > 0. Déterminer la
limite de cette suite.
3. Soit la suite de nombres réels définie pour tout n ≥ 1 par
un+1 =\sqrt{U_n²+\dfrac{1}{2^n}}
avec u1 = 1.
Montrer que un+1 < un +\dfrac{1}{2^{n+1}}
. En déduire que la suite est convergente. Trouver sa
limite.
voici mes réponses
1)
On pose f(x)=\dfrac{1}{2}{\left(x+\dfrac{a}{x} \right)}
Avec x[0;+[
Donc f'(x)=\dfrac{1}{2}\left( 1-\dfrac{1}{x²}\right)=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2x²}<0
Donc la fonction est décroissant mais comment montrer qu'elle est minoré
S'il vous plaît une petite indications merci beaucoup d'avance
2) on pose f(x)=arctan(x)
\lim_{x \to +\infty} arctan(x)=\dfrac{\pi}{2}
Donc limite de cette suite est \dfrac{\pi}{2}
3) une petite indications s'il vous plaît merci beaucoup d'avance

Posté par
carpediemre : Les suites numériques 09-12-21 à 10:59

salut

1/ la fonction s'étudie sur ]0, +oo[  (on exclut 0)

le signe de f'(x)est faux ...

2/

je ne vois pas en quoi la limite de la fonction arctan en +oo te donne la réponse ...

3/ on verra plus tard ... vu ce qui précède ...

Posté par
Mathes1re : Les suites numériques 09-12-21 à 12:05

Merci beaucoup à vous de m'avoir répondu !
1) f(x)=\dfrac{1}{2}{\left(x+\dfrac{a}{x} \right)}
Avec x]0;+[
Donc f'(x)=\dfrac{1}{2}\left( 1-\dfrac{a}{x²}\right)=\dfrac{1}{2}-\dfrac{a}{2x²}
Donc le signe de f' est celui de 1-a/x2
•on a 1-a/x2=0<=> x=±a
Puisque x]0;+[
Alors x=a
D'où le tableau de variation :
Les suites numériques
Merci beaucoup

Posté par
carpediemre : Les suites numériques 09-12-21 à 12:54

quel est l'intérêt de développer1/2 quand on cherche le signe ?

le signe est toujours faux car la nullité ne donne pas le signe ...

il faut résoudre proprement l'inéquation 1 - a/x^2 >= 0 ...

Posté par
Mathes1re : Les suites numériques 09-12-21 à 15:07

D'accord vous avez raison ,
•1-\dfrac{a}{x²}\geq 0\leftrightarrow 1\geq \dfrac{a}{x²} \leftrightarrow x²\geq a \leftrightarrow x\geq \sqrt a \leftrightarrow x]a;+[
•1-\dfrac{a}{x²}\leq 0 \leftrightarrow 1\leq \dfrac{a}{x²} \leftrightarrow x\leq \sqrt a
x]0;a[
Merci beaucoup

Les suites numériques

Posté par
carpediemre : Les suites numériques 09-12-21 à 15:17

x^2 > a n'est pas équivalent à x > a  (cours première sur les trinome)

donc à résoudre proprement puis ensuite ne considérer que ce qui nous intéresse ...

pour info si a > 0 alors par définition (de la racine carrée) a = \sqrt a ^2  donc  \dfrac a {\sqrt a} = \sqrt a ...

Posté par
Mathes1re : Les suites numériques 09-12-21 à 23:59

D'accord
•1-\dfrac{a}{x²}\geq 0 \leftrightarrow x \in ]0;\sqrt a]\bigcup[{\sqrt a;+\infty}[
•1-\dfrac{a}{x²}\leq 0\leftrightarrow x\in ]0;\sqrt a]

Posté par
DOMOREALes suites numériques 10-12-21 à 08:58

bonjour,
Si je comprends bien sur ]0,\sqrt{a}[ la dérivée est à la fois positive et  négative  ??
Plus sérieusement pour 1 et 2 tu devrais regarder si dans ton cours  tu as un paragraphe sur les fonctions contractantes
Pour 3  Justifie que   pour tout n U_n\geq 1 et  calcule (U_n+\frac{1}{2^{n+1}})^2\ tu auras facilement  l'inégalité demandée, après cela devrait aller tout seul...

Posté par
Mathes1re : Les suites numériques 10-12-21 à 09:13

Bonjour à tous
J'ai malheureusement pas cette notion de fonction contractante dans le cour
Mais comment on peut utiliser cette notion pour résoudre la 1 et 2 question je ne comprends pas
Merci beaucoup

Posté par
DOMOREALes suites numériques 10-12-21 à 11:04

Tu as sûrement cela sur internet, il faut que tu apprennes à chercher. Il s'agit d'une propriété qui utilise la valeur de la dérivée.

Posté par
Mathes1re : Les suites numériques 10-12-21 à 16:57

Bonjour
Donc il s'agit du méthode du point fixe
Ou fonction contractante
Définition : f défini sur I ,0<k<1 (x,y)I2
|f(x)-f(y)|≤k|x-y| ( ceci est très similaire à fonction k- lipschitzienne )
•Un+1=f(Un)
f(x)=0<=> x=\dfrac{-a}{x}=g(x)
g(x)=\dfrac{-a}{x}
x_{n+1}=g(x_n) x_{n+1}=\dfrac{-a}{x_n}
g est derivable sur *+
g(*+)=*-*+ ?
g'(x)= a/x2
Max g'(x) <0 <1

Posté par
carpediemre : Les suites numériques 10-12-21 à 20:01

Mathes1 @ 09-12-2021 à 23:59

D'accord
•1-\dfrac{a}{x²}\geq 0 \leftrightarrow x \in ]0;\sqrt a]\bigcup[{\sqrt a;+\infty}[
•1-\dfrac{a}{x²}\leq 0\leftrightarrow x\in ]0;\sqrt a]
tout faux ... et en prépa ça craint un peu ...

1 - \dfrac a {x^2} = \dfrac 1 {x^2} (x^2 - a) = \dfrac 1 {x^2} (x - \sqrt a) (x + \sqrt a)

le signe s'en déduit dès la seconde avec un tableau de signe et en première avec un théorème puisqu'on reconnait ...

nul besoin de parler de fonction contractante

par contre la première chose naturelle est d'étudier le signe de f(x) - x ... puis ensuite étudier éventuellement f o f (x) - x ...

Posté par
DOMOREALes suites numériques 10-12-21 à 20:29

Bonsoir,
Ton dernier tableau de variations était correct, c'est pourquoi je m'étonne de ton post du 9/12 à 23h59, à cette heure là, il vaut mieux dormir
Quand je parlais de fonction contractante , je pensais à la fonction que tu voulais étudier, à savoir f(x)=(1/2)(X+1/X)
f '(x)=(1/2)(1-a/x²) et \forall x\in[\sqrt{a},+\infty[, 0\leq f'(x)<1
Tu peux remarquer avec ton tableau de variations modifié que si U_0<\sqrt{a} alors U_1>\sqrt{a} et si U_1>\sqrt{a} alors U_2>\sqrt{a} et  0<f '(x)<1
Tu as donc sur [\sqrt{a},+\infty[ une fonction k-lipschitziènne avec 0<k<1.La suite est donc de la forme U_{n+1}=f(U_n)
Après cela cela marche tout seul, il faut savoir utiliser son cours.
pour U_{n+1}=artan(U_n) adopte la même méthode

Posté par
Mathes1re : Les suites numériques 10-12-21 à 22:17

Je vous remercie énormément !
Montrons par récurrence que n
Un>a
Pour n=0 on a U0>a>0
Soit n
On suppose que Un>a
Et montrons que Un+1>a
On a Un+1=\dfrac{1}{2}\left( U_n +\dfrac{a}{U_n} \right)>\dfrac{1}{2} \left(\sqrt {a} +\dfrac{a}{\sqrt{a}} \right)

Un+1 >a
D'où Un>a
n
•\dfrac{U_{n+1}}{U_{n}}=\dfrac{1}{2}\left(1+\dfrac{a}{U_n²} \right) <1
Donc la suite (Un )est décroissante et minoré par a donc elle est convergente
Sa limite est la résolution de l'équation f(l)=l
Merci beaucoup

Posté par
carpediemre : Les suites numériques 11-12-21 à 09:18

dès le départ c'est faux :

l'énoncé dit : u_0 > 0

il faut donc démarrer à u_1 ... et montrer que u_1 \ge \sqrt a

ensuite tu ne démontres pas l'hérédité : tu affirmes que si u_n \ge \sqrt a alors u_{n + 1} \ge \sqrt a sans le démontrer

enfin pour la décroissance idem : tu affirmes que \dfrac {u_{n + 1}} {u_n} < 1  sans le démontrer ...

et il me semble qu'il est plus aisé d'étudier le signe de u_{n +1} - u_n

Posté par
ty59847re : Les suites numériques 11-12-21 à 09:55

Depuis le début, tu fais fausse route.
Le plan que tu as choisi, c'est de dire : f est décroissante, si en plus elle est minorée, alors, ça suffit pour prouver qu'elle converge.
Oui et non.
Oui : si on regarde ce lien par exemple , on a bien le résultat que tu donnes.
Mais on n'est pas du tout dans cette configuration.
On ne cherche pas à prouver que la fonction f : f(x) = \frac{1}{2}(x+\frac{1}{x}) converge.
On cherche à prouver que la suite (u_n) définie par ... converge.
Et ça n'a rien à voir.

Prenons un contre-exemple : la suite définie par u_0=2 et u_{n+1} = \frac{1}{u_n}
Cette suite ne converge pas, et pourtant la fonction f(x)= 1/x   converge vers 0.

Posté par
Mathes1re : Les suites numériques 11-12-21 à 10:49

Bonjour à tous

Citation :
\forall x\in[\sqrt{a},+\infty[, 0\leq f'(x)<1
Tu peux remarquer avec ton tableau de variations modifié que si U_0<\sqrt{a} alors U_1>\sqrt{a} et si U_1>\sqrt{a} alors U_2>\sqrt{a} et  0<f '(x)<1

Je ne comprends vraiment pas d'où vient ceci .
Et je suis totalement perdu

Posté par
ty59847re : Les suites numériques 11-12-21 à 12:38

Effectivement, tu es totalement perdu.
Oublie tout depuis le début. Considère que tu commences cet exercice maintenant.
Relis mon message précédent. Tu verras à quel point tu fais fausse route.

Pour la question 1a), on te demande de prouver que cette suite converge, et de trouver sa limite.
Je te conseille de chercher la limite, la seule valeur possible pour la limite. Puis de prouver qu'effectivement, ta suite converge vers cette limite.

Posté par
carpediemre : Les suites numériques 11-12-21 à 13:32

ty59847 @ 11-12-2021 à 12:38

Effectivement, tu es totalement perdu.  parce qu'il n'y a aucune expérience ni méthode de ce qui a été fait les années précédentes ...
Oublie tout depuis le début. enfin presque ...
Considère que tu commences cet exercice maintenant.  ok
Relis mon message précédent. Tu verras à quel point tu fais fausse route.  tout à fait

Pour la question 1a), on te demande de prouver que cette suite converge, et de trouver sa limite.
Je te conseille de chercher la limite, la seule valeur possible pour la limite. bof ... c'est une trivialité par rapport au vrai travail mathématique
Puis de prouver qu'effectivement, ta suite converge qui est le vrai travail mathématique vers cette limite.


Mathes1 @ 09-12-2021 à 10:51


Soit \red (u_n) la suite de nombres réels telle que \forall n \in \N  : u_{n + 1} = \dfrac{1}{2}\left( u_n +\dfrac{a}{u_n}\right), avec u0 > 0 et a > 0
Montrer que la suite (un) converge et trouver sa limite.


1/ prendre un tableur ou une calculatrice et essayer/expérimenter pour connaitre les questions que l'on va se poser et auxquelles on va de voir répondre pour résoudre le pb
2/ répondre aux questions qu'on vient de se poser !!

PS : l'introduction de la fonction/notation f est inutile sauf à se simplifier la rédaction :  f(x)  ne sera alors qu'un symbole ou notation compacte de l'expression  \dfrac 1 2 \left(x + \dfrac a x \right)

Posté par
ty59847re : Les suites numériques 11-12-21 à 14:01

Effectivement, trouver la limite est une trivialité (pour toi ou  moi).
Mais notre OP est totalement perdu.
Donc il a besoin d'un plan de route simple. Et tant pis si dans le lot, il y a quelques étapes qui sont des trivialités.

Mathes1 doit prendre conscience qu'on ne cherche pas à prouver que f converge, mais à prouver que la suite (u_n) converge...
Ensuite, il peut relire toute cette discussion. Il y a effectivement des messages utiles. Mais ces messages ne sont utiles que si on comprend où on cherche à nous emmener.

Posté par
Mathes1re : Les suites numériques 11-12-21 à 16:08

D'accord
•calculons U_{n+1}² -a=\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{(U_n²-a)²}{U_n²} \right)
Donc n Un+12-a≥0 donc Un+1²≥a
(Car Un>0 )Alors Un+1≥a
•donc Un≥a
•\dfrac{U_{n+1}}{U_{n}}=\dfrac{1}{2}\left(1+\dfrac{a}{U_n²} \right) ≤\dfrac{1}{2}(1+1)=1
n1
•Un décroissante et minoré par a donc (Un ) converge
•notons l sa limite de Un : l≥a
Donc l≥0
On a un+1=\dfrac{1}{2}\left( U_n +\dfrac{a}{U_n}\right) ,
Donc l=\dfrac{1}{2}\left(l+\dfrac{a}{l} \right)\leftrightarrow l=\sqrt a
(l>0)
J'espère que cela est juste

Posté par
Mathes1re : Les suites numériques 11-12-21 à 18:53

Bonjour à tous
Pour 2) Un+1=arctan (Un) avec U0>0
Donc Un+1-Un<0
Mais comment la montrer s'il vous plaît une petite indications merci beaucoup d'avance !

Posté par
ty59847re : Les suites numériques 11-12-21 à 22:49

Ok
Il faut quand même mettre quelques mots en français dans tous ces calculs.
Par exemple : Donc l est solution de l'équation l= 1/2(a+a/l)
En terme de rédaction ... cette ligne a un autre problème.
Tu dis en fait : Donc (xxx) est équivalent à (yyy)

Vois-tu le problème ?

Pour le 2ème exercice ... je t'invite à relire mon message de 12h38. C'était un conseil pour le 1er exercice,  tu l'as plus ou moins appliqué pour le 1er exercice, et il reste valable pour ce 2ème exercice.

Posté par
Mathes1re : Les suites numériques 12-12-21 à 11:25

Bonjour
•La fonction itératrice x↦arctan(x) est définie de R*+ vers R* +(intervalle stable). La suite (Un) est bien définie et ses termes appartiennent à R∗+.
Sachant arctan(x)≤x pour tout x∈R+
Donc arctan (Un)≤Un
Un+1≤Un
Donc la suite Un est décroissante
Une petite indications s'il vous plaît pour montrer qu'elle est minoré je suis bloqué merci beaucoup d'avance

Posté par
carpediemre : Les suites numériques 12-12-21 à 11:29

arctan x a même signe que x ...

Posté par
Mathes1re : Les suites numériques 12-12-21 à 12:23

D'accord ,mais comment montrer qu'elle est minoré?
Une petite indications s'il vous plaît merci d'avance

Posté par
carpediemre : Les suites numériques 12-12-21 à 13:29

carpediem @ 12-12-2021 à 11:29

arctan x a même signe que x ...
et relire les hypothèses de l'énoncé ...

Posté par
Mathes1re : Les suites numériques 12-12-21 à 13:48

C.à.d que Un>0 n ?
Comment ça ?

Posté par
ty59847re : Les suites numériques 12-12-21 à 15:40

Pour tout n, U_{n+1} est du même signe que U_n, ça répond quasiment à la question.

Posté par
Mathes1re : Les suites numériques 12-12-21 à 17:45

Bonjour
C'est difficile de connaître le signe de Un+1 et est ce que Un>0 n

Posté par
carpediemre : Les suites numériques 12-12-21 à 18:21

Mathes1 @ 09-12-2021 à 10:51


2. Soit la suite de nombres réels définie par un+1 = arctan(un) avec u0 > 0.
Déterminer la limite de cette suite.

Posté par
Mathes1re : Les suites numériques 12-12-21 à 18:26

C.à.d qu'elle est forcément Minoré par 0?
Merci beaucoup

Posté par
carpediemre : Les suites numériques 12-12-21 à 19:12

il faut le montrer proprement ... bien sûr !!

Posté par
Mathes1re : Les suites numériques 12-12-21 à 19:25

Montrons par récurrence que n on a Un>0
Pour n=0 on a U0>0 est vrai
•on suppose que Un>0 et montrons que Un+1>0
Un>0 <=> arctan(Un)>0 (car arctan est strictement croissante sur )
Donc Un+1>0
D'où n on a
Un>0
Donc la suite Un converge
Puisqu'elle est décroissante et minoré
Notons L sa limite avec L≥0
L=arctan (L) <=> L=0
J'espère que cela est juste
Une petite indication s'il vous plaît pour 3)) merci beaucoup

Posté par
carpediemre : Les suites numériques 12-12-21 à 20:04

ce n'est pas la croissance de arctan qui compte !!!

carpediem @ 12-12-2021 à 11:29

arctan x a même signe que x ...

Posté par
carpediemre : Les suites numériques 12-12-21 à 20:11

Mathes1 @ 09-12-2021 à 10:51

Soit la suite de nombres réels définie pour tout n \ge 1 par  u_{n + 1} = \sqrt{u_n²+\dfrac{1}{2^n}}  avec u1 = 1.

Montrer que u_{n + 1} \le u_n + \dfrac{1}{2^{n+1}}  (*)
. En déduire que la suite est convergente. Trouver sa
limite.


1/ montrer que u_n \ge 1

2/ \sqrt {1 + h} \approx 1 + \dfrac 1 2 h

3/ écrire l'inégalité (*) pour n = 1, 2, 3, ..., n et additionner membre à membre ...

Posté par
Mathes1re : Les suites numériques 12-12-21 à 20:26

Je ne comprends pas le sens de arctan x même signe de x
•montrons que Un≥1
Pour n=1 on a U1=1≥1
• on suppose que Un≥1 et montrons que Un+1≥1
U_{n+1}=\sqrt{U_n²+\dfrac{1}{2^n}}\geq \sqrt{1²+0}=1
Donc n≥1 on a Un≥1

Posté par
carpediemre : Les suites numériques 12-12-21 à 20:32

ne sais-tu rien sur la fonction arctan ?

alors trace sa courbe !!!

Posté par
Mathes1re : Les suites numériques 12-12-21 à 20:35

D'accord
Voilà !

Les suites numériques

Posté par
Mathes1re : Les suites numériques 12-12-21 à 21:16

Voici la courbe de arctan (x) et x

Les suites numériques

Posté par
Mathes1re : Les suites numériques 13-12-21 à 17:35

Bonjour
Je ne vois pas l'intérêt de développement limité au voisinage de 0

Citation :
2/ \sqrt {1 + h} \approx 1 + \dfrac 1 2 h

Posté par
ty59847re : Les suites numériques 13-12-21 à 18:04

C'est trop décousu.
On est toujours sur la série d'exercices donnés au début ?
Sur quel exercice ?
Qu'est ce qui a déjà été trouvé pour cet exercice, quel est le plan pour les points qui restent ?

Posté par
carpediemre : Les suites numériques 13-12-21 à 18:04

u_{n + 1} = \sqrt {u_n^2 + \dfrac 1 {2^n}} = u_n \sqrt {1 + \dfrac 1 {u_n ^2 2^n}} ...  \blue \le u_n \left( 1 + \dfrac 1 {u_n^2 2^{n + 1}} \right) \le u_n + \dfrac 1 {2^{n + 1}}

justifier toutes les étapes ...

Posté par
Mathes1re : Les suites numériques 13-12-21 à 18:56

D'accord merci beaucoup j'ai compris le principe
u_{n + 1} = \sqrt {u_n^2 + \dfrac 1 {2^n}} = u_n \sqrt {1 + \dfrac 1 {u_n ^2 2^n}} \leq U_n(1+\dfrac{1}{U_n²2^n})^{\dfrac{1}{2}} \blue \le u_n \left( 1 + \dfrac 1 {u_n^2 2^{n + 1}} \right) ( \text{car }2^n\leq 2^{n+1} ) n)
(On peut montrer par récurrence que 2n≤2n+1
Pour n=0 on a 20≤2
On suppose que 2n≤2n+1 et montrons que 2n+1≤2n+2
On a 2n+1≥2n donc 2*2n+1≥2*2n
D'où 2n+2≥2n+1
Donc d'après le principe de récurrence on a 2n≤2n+1
Donc on a Un+1≤U_n\left(1+\dfrac{1}{U_n²2^{n+1}} \right)=U_n +\dfrac{1}{U_n2^{n+1}} \leq U_n + \dfrac{1}{2^{n+1}}
Car Un≥1 entraine 1\geq \dfrac{1}{U_n}
Merci beaucoup

Posté par
carpediemre : Les suites numériques 13-12-21 à 19:02

ce n'est pas de démontrer que 2^n \le 2^{n + 1} qui importe !!!

c'est une trivialité à ce niveau !!!

ce qui importe c'est de montrer l'égalité (élémentaire) et les deux inégalités !!!

Posté par
Mathes1re : Les suites numériques 13-12-21 à 19:06

j'ai écrit tout ce que je comprends

Posté par
carpediemre : Les suites numériques 13-12-21 à 19:21

bon mal lu ...

okla deuxième inégalité est prouvée

pour la première :

soit f la fonction racine carrée et C sa courbe représentative

a/ détermine l'équation de la tangente T à sa courbe C au point d'abscisse 1
b/ détermine la position relative de C et T
c/ conclure

Posté par
Mathes1re : Les suites numériques 13-12-21 à 19:45

D'accord
f(x)=\sqrt{x}
(T):y=1/2(x-1)+1=1/2(x+1)
f(x)-y==\sqrt{x}-1/2(x+1)
f est en dessous de T x+
Je ne vois pas comment ça vous aide

Posté par
carpediemre : Les suites numériques 13-12-21 à 20:00

pardon ce n'est pas \sqrt x mais \sqrt {1 + x}  (enfin ça sera plus simple)

ça permet de prouver la première inégalité ....

Posté par
carpediemre : Les suites numériques 13-12-21 à 20:00

carpediem @ 13-12-2021 à 20:00

pardon ce n'est pas \sqrt x mais \sqrt {1 + x}  (enfin ça sera plus simple)   tangente au point d'abscisse 0

ça permet de prouver la première inégalité ....

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