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Posté par Arxen_Lara3457 (invité)Les suites petits problèmes tous simples 10-10-04 à 10:26

Bonjour! Voici le problème dont il est question:

Soit (Un), la suite arithmétique de raison 3 et de premier terme U0=5. On étudie la suite (Vn) définie sur N par Vn=2^Un.

Montrer que (Vn) est géométrisue et préciser sa raison.
Calculer le produit P=V0*V1*V2.......*V10.

Pour le produit P je n 'ai pas la formule, c'est la seule chose qui me manque.

Merci d'avance.

*** message déplacé ***

Niveau terminale
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les suites que j arrive pas

Posté par Arxen_Lara3457 (invité) 10-10-04 à 10:33

Soit (Un) la suite définie sur N par Un= (2^n)/(n+1), lu "Deux exposant n sur (quotient) n plus 1".

Etudier le sens de variation de la suite Un.
En déduire que pour tout n appartenant à N, Un est plus grand ou égale à 1.

Merci beaucoup d'avance pour toute vos réponses!!

Posté par flofutureprof (invité)re : les suites que j arrive pas 10-10-04 à 11:16

Un= (2^n)/(n+1)
la suite (Un) est en fait une fonction de n, on peut dériver la fonction qui à x associe (2^x)/(x+1).
2^x = e^(x*ln2)
donc f(x) = e^(x*ln2)/(x +1).
f'(x) = [ ln2*e^(x*ln2)(x +1) -e^(x*ln2) ]/(x +1)²

f'(x) est du signe de ln2*e^(x*ln2)(x +1) -e^(x*ln2)
ln2*e^(x*ln2)(x +1) - e^(x*ln2)= [ (x +1)*ln2 -1 ]*e^(x*ln2)

ce sera du signe de (x +1)*ln2 -1 car e fonction strictement positive.
(x + 1)*ln2 -1 = ln2^(x +1) - ln(e)
                 = ln(2^(x +1)/e)

pour x 1 f' est positive donc f sera croissante pour n 1.
et U0 = 2^0/(0 +1) = 1
U1 = 2^1/(1 +1) = 1
donc (Un) est croissante pour tout n.
et comme U0 = 1, Un 1  

Posté par flofutureprof (invité)re : Les suites petits problèmes tous simples 10-10-04 à 11:27

pour tout n, comme (Vn) est une suite géométrique de raison 8 si jme suis pas trompée on a :
Vn = V0*8^n
donc V1 = V0*8
V2 = V0*8²
pour faire le produit avec des puissances on additionne les puissances donc :
P = V0(1+8+8²+...+8^n)
à l'intérieur de la parenthèse tu as la somme des termes consécutifs d'une suite géométrique de raison 8.
P = V0[(1-8^n)/(1-8)].
voilà

*** message déplacé ***

Posté par flofutureprof (invité)re : Les suites petits problèmes tous simples 10-10-04 à 14:23

houlala je dîs un truc et je fais le contraire !
P = V0^n*8^(0 +1 +2 +...+n)
P = V0^n*8^[n(n+1)/2] en fait...dsl, je ne m'étais pas relue.

*** message déplacé ***

Posté par Arxen_Lara3457 (invité)Dm de maths term eco spe maths, les suites que j arive po 11-10-04 à 18:47

Il faut que vous sachiez que qulqu un ma deja repondu une fois mais je n ai pas compris du tout ce qu elle a voulu me dire...Alors sans vouloir vous embeter si vous pouviez rédiger un max et m expliquer un peu ce serait super gentil de votre part car je suis une pauvre économiste spécialité maths qui déteste l éco et qui a un bac eco coef 7, seuls les maths peuvent me sauver... En tout cas je vous remercie d 'avance pour toutes vos réponses... Bien à vous et merci pour tout.

JULIE

Exercice 1
Soit (Un) la suite définie sur N par Un= (2^n)/(n+1).
1) Etudiez le sens de variation de la suite (Un).
2) En déduire que pour tout n appartenant à N, Un est supérieur ou égale à 1.

Exercice 2
Soit (Un), la suite arithmétique de raison 3 et de premier terme U0= -5. On étudie la suite (Vn) définie sur N, par Vn=2^Un.
1) Montrer que (Vn) est géométrique, préciser sa raison.
2) Calculer le produit P=V0*V1*V2*...0V10


Exercice 3
(Un) est une suite arithmétique de raison r et de premier terme U0. On sait que la somme des 7 premiers termes de la suite (Un) est égale à 532 et que le 20ème terme est égale à 412.

1) Déterminer le premier terme U0 et la raison r de la suite (Un)/
2) En déduire le 543ème terme de la suite (Un).

*** message déplacé ***

Posté par
Océane Webmasterre : Dm de maths term eco spe maths, les suites que j arive po 11-10-04 à 19:06

Sache que ça s'appelle du multi-post !
Et que nous ne tolérons pas le multi-post sur le site !
En plus tu as posté deux topics différents pour les deux premiers exercices (ce que tu as tout à fait le droit), alors si tu as des questions à poser, recherche tes topics et pose tes questions dans tes précédents topics.
Pour ton troisième exercice, tu n'as plus qu'à créer un nouveau topic.
Merci de ta compréhension

*** message déplacé ***

Posté par Arxen_Lara3457 (invité)les suites trop compliquees de la vie 11-10-04 à 19:08

Bonjour jeunes gens! S'il vous plait, laissez moi requerir votre aide pour ces petits problemes qui me plongent dans un grand emoi... Je vous remerci tous et toute parce que ce site est vraiment une bonne idée.
Essayez de rédiger et de m expliquer si vous avez le temps et si vous pouvez. Merci merci

Exercice 1
Soit (Un) la suite définie sur N par Un= (2^n)/(n+1).
1) Etudiez le sens de variation de la suite (Un).
2) En déduire que pour tout n appartenant à N, Un est supérieur ou égale à 1.

Exercice 2
Soit (Un), la suite arithmétique de raison 3 et de premier terme U0= -5. On étudie la suite (Vn) définie sur N, par Vn=2^Un.
1) Montrer que (Vn) est géométrique, préciser sa raison.
2) Calculer le produit P=V0*V1*V2*...0V10


Exercice 3
(Un) est une suite arithmétique de raison r et de premier terme U0. On sait que la somme des 7 premiers termes de la suite (Un) est égale à 532 et que le 20ème terme est égale à 412.

1) Déterminer le premier terme U0 et la raison r de la suite (Un)/
2) En déduire le 543ème terme de la suite (Un)

merci encore

*** message déplacé ***

Posté par
Belge-FDLEVoici TES exos, sur TON topic 11-10-04 à 21:39

Salut Arxen_Lara3457 ,

Alors, voici les exos pour lesquels tu as demandé de l'aide . Le problème, c'est que tu as fais du multi-post, c'est-à-dire que tu as posté plusieurs fois le même sujet, au lieu de reposer les questions dans le TOPIC initial . Fais-y attention la prochaine fois STP .

Sur ce, je laisse de côté la morale pour t'aider :

EXERCICE 1
Soit (Un) la suite définie sur N par Un= (2^n)/(n+1).
1) Etudiez le sens de variation de la suite (Un).
Tu n'es pas sans savoir que pour étudier les variations d'une suite, on peut étudier le signe de 2$\rm~u_{n+1}-u_n. C'est ce que je te propose de faire ici . La méthode, bien qu'elle donne le même résultat que flofutureprof, me semble bien plus simple pour une ES car elle ne fait pas appelle à la fonction exponentielle que je ne pense pas que tu aie encore vue . Alors, c'est parti :

2$\rm~u_{n+1}-u_n~=~\frac{2^{n+1}}{n+2}~-~\frac{2^n}{n+1}
2$\rm~u_{n+1}-u_n~=~\frac{2^{n+1}(n+1)~-~2^n(n+2)}{(n+2)(n+1)} (tout au même dénominateur)
2$\rm~u_{n+1}-u_n~=~\frac{2^n[2(n+1)-(n+2)]}{(n+2)(n+1)} (je factorise au dessus par 2$2^n)
2$\rm~u_{n+1}-u_n~=~\frac{2^n(2n+2-n-2)}{(n+2)(n+1)}
2$\rm~u_{n+1}-u_n~=~\frac{2^n\times~n}{(n+2)(n+1)}

Or 2$\rm~n~\in~~\mathbb{N} donc , pour tout n :
2$\rm~\frac{2^n\times~n}{(n+2)(n+1)}~\geq~~0

donc 2$\rm~u_{n+1}-u_n~\geq~~0
d'où 2$\rm~u_{n+1}~\geq~~u_n

CONCLUSION : La suite (Un) est croissante pour tout n.

2) En déduire que pour tout n appartenant à N, Un est supérieur ou égale à 1.
On vient de démontrer que (Un) est croissante.
Or, par hypothèse, 2$\rm~u_0~=~\frac{2^0}{0+1}~=~\frac{1}{1}~=~1.

CONCLUSION : La suite (Un) est croissante pour tout n et 2$\rm~u_0~=~1, donc, pour tout n, on a bien : 2$\rm~u_n~\geq~~1



EXERCICE 2
Soit (Un), la suite arithmétique de raison 3 et de premier terme U0= -5. On étudie la suite (Vn) définie sur N, par Vn=2^Un.
1) Montrer que (Vn) est géométrique, préciser sa raison.
Par hypothèse, on a :
2$\rm~u_n~=~-5+3n

Donc, on a :
2$\rm~v_n~=~2^{u_n}
2$\rm~v_n~=~2^{-5+3n}
2$\rm~v_n~=~2^{-5}~\times~2^{3n}
2$\rm~v_n~=~\frac{1}{2^5}~\times~(2^3)^n
2$\rm~v_n~=~\frac{1}{32}~\times~8^n

CONCLUSION : (Vn) est donc une suite géométrique de premier terme 2$\rm~v_0~=~\frac{1}{32} et de raison 8.

2) Calculer le produit P=V0*V1*V2*...*V10 :
Très intéressant, j'ai "découvert" grâce à cette question, la formule du produit des n premiers termes d'une suite géométrique (ce qui est loin d'être très compliqué ) :

Alors, ici, on va devoir calculer 2$\rm~\displaystyle\prod_{n=0}^{10}(v_n). C'est juste une autre écriture pour ce qu'on te demande de calculer, c'est plus joli, mais c'est la même chose.
Calculons le nombres de facteurs de ce produit. On part de 0 jusqu'à 10, donc le nombre de facteur est égal à :
10-0+1 = 11 facteurs

On se rend compte que :

2$\rm~\displaystyle\prod_{n=0}^{10}(v_n)~=~v_0\times8^0~\times~~v_0\times8^1~\times~~v_0\times8^2~\times~~.......~\times~v_0\times8^{10}
2$\rm~\displaystyle\prod_{n=0}^{10}(v_n)~=~u_0^{11}\times8^{(0+1+2+3+4+5+6+7+8+9+10)}
2$\rm~\displaystyle\prod_{n=0}^{10}(v_n)~=~(\frac{1}{32})^{11}\times8^{55}
2$\rm~\displaystyle\prod_{n=0}^{10}(v_n)~=~\frac{1}{32^{11}}\times8^{55}
2$\rm~\displaystyle\prod_{n=0}^{10}(v_n)~=~\frac{8^{55}}{32^{11}}
2$\rm~\displaystyle\prod_{n=0}^{10}(v_n)~=~\frac{(2^3)^{55}}{(2^5)^{11}}
2$\rm~\displaystyle\prod_{n=0}^{10}(v_n)~=~\frac{2^{3\times55}}{2^{5\times11}}
2$\rm~\displaystyle\prod_{n=0}^{10}(v_n)~=~\frac{2^{165}}{2^{55}}
2$\rm~\displaystyle\prod_{n=0}^{10}(v_n)~=~2^{110}
2$\rm~\displaystyle\prod_{n=0}^{10}(v_n)~=~4^{55}
2$\rm~\displaystyle\prod_{n=0}^{10}(v_n)~=~1024^{11}
2$\rm~\displaystyle\prod_{n=0}^{10}(v_n)~\approx~~1,298\times10^{33}

Et oui, ça fait beaucoup .

Au fait, pour ceux que ça intéresse, je pense que le produit des termes de la suite géométrique (Un) de raison q, partant de 2$u_p et allant jusqu'à 2$u_d est :

4$\rm~\displaystyle\prod_{n=p}^{d}(v_n)~=~~u_p^{(d-p+1)}~\times~q^{(\sum_{n=p}^d(n))}



EXERCICE 3
(Un) est une suite arithmétique de raison r et de premier terme U0. On sait que la somme des 7 premiers termes de la suite (Un) est égale à 532 et que le 20ème terme est égale à 412.
1) Déterminer le premier terme U0 et la raison r de la suite (Un).
Alors, ici, accroches-toi parce-que ça peut paraitre asez compliqué à comprendre.
*On nous dis que la somme des 7 premiers termes (càd de u_0 à u_6) est égale à 412. Or on sait que la somme des n premiers termes d'une suite arithmétique est égale (littérallement) à :

2$\rm~\frac{(nombres~de~termes)(premier~terme~+~dernier~terme)}{2}

Donc, dans notre cas, on a :

2$\rm~\displaystyle\sum_{n=0}^6(v_n)~=~\frac{7(u_0+u_6)}{2}~=~412

Or, (un) est une suite arithmétique de raison r, donc pour tout n, on a :
2$\rm~u_n~=~u_0~+~nr
En particulier, pour n=6, on a :
2$\rm~u_6~=~u_0~+~6r

On a donc :

2$\rm~\displaystyle\sum_{n=0}^6(v_n)~=~\frac{7(u_0+u_6)}{2}~=~532
2$\rm~\displaystyle\sum_{n=0}^6(v_n)~=~\frac{7(u_0+u_0+6r)}{2}~=~532
2$\rm~\displaystyle\sum_{n=0}^6(v_n)~=~\frac{14u_0+42r)}{2}~=~532
2$\rm~\displaystyle\sum_{n=0}^6(v_n)~=~7u_0+21r~=~532

On a donc la première équation de notre système, à savoir : 2$\rm~7u_0+21r~=~532

**On nous dit aussi que le 20ème terme de la suite est égal à 412, donc :
2$\rm~u_20~=~u_0~+~20r~=~412

***On a nos deux équation d'un système que l'on va à présent résoudre :

2$\rm~\{{7u_0+21r~=~532\\u_0+20r~=~412}

2$\rm~\{{7(412-20r)+21r~=~532\\u_0~=~412-20r}

2$\rm~\{{2884-140r+21r~=~532\\u_0~=~412-20r}

2$\rm~\{{-119r~=~-2352\\u_0~=~412-20r}

2$\rm~\{{r~=~\frac{2352}{119}\\u_0~=~412-20r}

2$\rm~\{{r~=~\frac{336}{17}\\u_0~=~412-20\frac{336}{17}}

2$\rm~\{{r~=~\frac{336}{17}\\u_0~=~\frac{284}{17}

CONCLUSION : On a : 2$\rm~u_0~=~\frac{284}{17}~~et~~r~=~\frac{336}{17}.

2) En déduire le 543ème terme de la suite (Un).

On a déterminer précédemment que : 2$\rm~u_0~=~\frac{284}{17}~~et~~r~=~\frac{336}{17}.
Donc, pour tout n, on a :

2$\rm~u_n~=~\frac{284}{17}~+~n\times\frac{336}{17}

En particulier, pour n=542 (et pas n=543, comme on pourrait le croire, en effet le premier terme est u0, et non u1 ) :

2$\rm~u_{542}~=~\frac{284}{17}~+~542\times\frac{336}{17}
2$\rm~u_{542}~=~\frac{182396}{17}

Remarque : Les résultats obtenus sont bien trop compliqués, pour être ceux attendus. Pourtant, ils sont justes. Il doit sûrement y avoir une erreur dans ton énoncé. Relis le bien .

Voili, voilou .

Si tu as des questions, n'hésite pas à les poser (dans ce TOPIC-ci ) .

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