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Les suites (récurrente et convergence)
Bonjour,
Voici un exercice que j'ai à faire à savoir :
Soit f la fonction définie sur l'intervalle [0;4] par :
f(x) =(2+3x)/(4+x)
on considère la suite (un) définie par u0=3 et pour tout entier naturel n, un+1=f(un). On admet que la suite (un) est bien définie.
1) calculer u1
2) On a calculé avec un tableur les premiers termes de la suite (un)
A B
1 n un
2 0 3,00000
3 1 1,57143
4 2 1,20513
5 3 1,07882 etc....
a) quelle formule a été saisie dans la cellule B3 pour obtenir par recopie vers le bas les termes de la suite (un)?
b) Conjecturer la nature de la suite (un) et la valeur de son éventuelle limite
3) Montrer que la fonction f est croissante sur l'intervalle [0;4]
4) Montrer par récurrence que pour tout entier naturel :
1
un+1un3
5) Montrer que la suite (un est convergente
Voici ce que j'ai fait :
1) pour tout nombre réel x de l'intervalle [0;4], f(x)= (2+3x)/(4+x)
u0=3 et pour tout entier naturel n, un+1= f(un)
u1 = 11/7
2) a) la formule saisie dans la cellule B3 est :
=(2+3*B2)/(4+B2) pour obtenir par recopié vers le bas les termes de la suite (un)
b) je n'y arrive pas
sur excel j'ai trouvé comme valeur limite 1
3) f est dérivale sur [0;4]
f'(x)=(12+3x-2-3x)/((4+x)²)= 10/(4+x)²>0
donc f est croissante sur [0;4]
4) On veut démontrer par récurrence que pour tout entier n,
1un+1un3
initialisation : u0=3 et u1=11/7 donc 1u1u03 la propriété est vérifiée pour n=0
hérédité : pour démontrer que la propriété est héréditaire pour tout entier naturel n, on suppose que 1un+2un+13
f est croissante sur [0;4] donc :
Si 1un+2un+13 alors f(1)f(un+1)f(un)f(3)
f(1)= 1 ; f(un+1)=un+2 ; f(un)=un+1 ; f(3)=11/73
donc 1un+2un+13
conclusion : le principe de récurrence, nous permet d'affirmer que pour tout entier naturel n,
1un+1un3
5) pour tout entier naturel n, 1un+1un donc la suite (un) est décroissante et minorée par 1
la suite (un) est donc convergente.
Merci pour votre réponse
la FAQ du forum
équivalences des systèmes de niveaux scolairesBonsoir,
La question 2.b me semble mal formulée. Plutôt que la nature de la suite, je pense qu'on demande plutôt de conjecturer son sens de variation (en terminale, les seules suites particulières connues sont les suites arithmétiques et les suites géométriques et ta suite n'est ni l'une ni l'autre...).
Question 4 : il y a un problème dans ta récurrence. Tu démontres la propriété vraie au rang n+1 et tu démontres qu'elle est vraie... au rang n+1. Donc ta preuve se mord le derrière.
Pour le reste, ça me semble bien.
Manu
Re,
pour tilk_11 : je viens de rectifier ma classe qui est terminale spécialité Maths
pour manu_du_40 : la question 2b est bien :
b) Conjecturer la nature de la suite (un) et la valeur de son éventuelle limite (c'est bien ce qui est noté dans mon livre)
pur la 4 )
j'ai noté :hérédité : pour démontrer que la propriété est héréditaire pour tout entier naturel n, on suppose que 1un+2un+13
f est croissante sur [0;4] donc :
je me suis trompée en recopiant il faut lire :j'ai oublié une ligne donc hérédité : pour démontrer que la propriété est héréditaire pour tout entier naturel n, on suppose que 1un+1un3 et on doit démontrer que 1un+2un+13
puis la suite de ce que j'avais mis f est croissante sur [0 ; 4] etc....
pour la question 2 b) je ne sais quoi mettre,je sais que cette suite est décroissante et la valeur limite est 1 mais je ne sais que faire d'autre
MERCI
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