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Les suites : Volume d un paraboloïde
Bonjour,
J'ai un gros problème avec un exo de synthèse sur les suites. Je comprends vraiment rien de rien. S'il vous plait, quelqun peut-il m'expliquer?
Merci infiniment.
Enoncé:
Le paraboloïde est obtenu par révolution du domaine limité par la courbe d'équation y = x² autour de l'axe de la parabole.
1° On partage l'intervalle de l'axe des ordonnées [0;4] en n intervalles de même longueur et on considère deux types de cylindre de hauteur 4/n (avec n
1) : ceux contenus dans le paraboloïde, ceux contenant le paraboloïde.
En unités de volume, Un est le volume total des cylindres contenus dans le paraboloïde et Vn est le volume total des cylindres contenant le paraboloïde.
a) Calcul de Un
Vérifier que les bases des n cylindres intérieurs ont pour aires :
x(4/n) ; 2x(4/n) ; ... (n-1)x(4/n).
En déduire : Un = (16/n²) x [1+2+ ... + (n-1)]
b) Calcul de Vn
Démontrer que : Vn = (16/n²) x [1+2+ ... + n]
2° a) On note V le volume du paraboloïde ; on admet l'encadrement Un 
V Vn.
Démontrer que u et v sont des suites adjacentes.
b) Déterminer leur limite commune. En déduire que V = 8.
Voila merci de vous occuper de ce problème, merci beaucoup pour vos explications.Par contre je suis désolé mais je sais pas comment mettre une image à partir de mon ordi pour expliquer le 1°.
TheMax
Voila j'au trouvé comment mettre une image.
Voici un paraboloïde avec en dessous l'explication du 1°:
Merci de votre aide
Bonjour
1a) les points de la subdivision donnant Un ont pour ordonnées respectives:
;
;
;
; ... ;
un point de la subdivision a pour donc pour ordonnée
avec k variant de 0 à n-1
comme pour les points de la paraboloïde vérifient y = x², on a donc:
et donc le cercle de base du k-ième cylindre a pour aire
la hauteur d'un cylindre est 4/n,
le volume du k-ième cylindre est:
reste plus qu'à ajouter les n volumes pour obtenir Un
2) C'est presque la même chose mais k varie de 1 à n
La fin est plus classique: c'est des calculs
ahhhhh merci infiniment de m'avoir répondu!
Mais il y a certaine choses que je n'ai pas comprise.
comment on fait pour en déduire : Un = (16/n²) x [1+2+ ... + (n-1)]
Pouvez vous développer davantage.
Merci beaucoup!
erreur de manip ... pour le post précedent
volume du 1 cylindre:
volume du 2 cylindre:
volume du 3 cylindre:
...
volume du dernier cylindre:
on ajoute le tout et on factorise
Merci beaucoup. ça va déja mieux pour la question 1.
Mais depuis tout à l'heure je planche sur la question 2. j'y arrive vraiment pas. Pourriez vous m'expliquer?
Encore merci
la 2 c'est comme la première mais avec les cylindre "extérieurs"
comme je te l'ai déjà dit "même chose mais k varie de 1 à n" au lieu de 0 à n-1
non ça c'est la 1b.
Revoici la question 2:
2° a) On note V le volume du paraboloïde ; on admet l'encadrement Un V Vn.
Démontrer que u et v sont des suites adjacentes.
b) Déterminer leur limite commune. En déduire que V = 8.
Ah désolé. Tu appliques la définition des suites adjacentes. Tu montres que:
(Vn - Un) tend vers 0 quand n tend vers +infini
je l'ai fais mais je trouve u croissante et v constante. je pense que j'ai fait une erreur, c'est sur mais je vois pas où. c'est assez embètant.vous pouvez vérifier pas vous meme svp?
Merci beaucoup pour votre aide
Donc si j'ai bien compris. u est croissante
et de la même façon on aura
1+2+3+ ... +n = ((n-1)(1+n))/2
Donc Vn= 8/n² * (n-1)(n+1) = 8/n² * (n²-1)= 8n²/n² - 8/n² = 8 - 8/n²
Mais le problème c'est que c'est aussi positif???
c'est pas normal?
pourquoi ? je n'ai pas fait les calculs mais cela me semble cohérent avec la réponse précédente
maintenant tu calcules:
1) U(n+1) - U(n) tu en déduis la croissance de la suite Un
2) V(n+1) - V(n) tu en déduis la décroissance de la suite Vn
3) V(n) - U(n) tu en déduis la limite quand n tend vers +infini
comme les suites sont adjacentes, on peut affirmer que:
* chacune converge
* leur limite est la même
elle est facile à calculer: 8 pi
comme pour tout n: Un < Volume paraboloïde < Vn
d'après le théorème des gendarmes, en passant à la limite
tu calcules le volume.
j'ai un léger soucis. je trouve que les limites respectives de Un et Vn tendent chacune vers 0. ça me pose un problème pour calcule le Volume
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