Bonjour Nikal

Pour montrer que les droites (MP) et (BC) sont parallèles, on va montrer
que les vecteurs MP et BC sont colinéaires.

Par hypothèse :
AP = 1/2 AC - 2AB
donc :
AM + MP = 1/2 AC - 2AB

D'où :
MP = 1/2 AC - 2AB - AM
= 1/2 AC - 2AB - (AB + BM)
= 1/2 AC - 2AB - AB - BM
= 1/2 AC - 3AB -1/2 BA - 2CA
(par définition de BM)
= 1/2 AC - 3AB + 1/2 AB + 2AC
= 5/2 AC - 5/2 AB
= 5/2 AC - 5/2 AC - 5/2 CB
= -5/2 BC

Les vecteurs MP et BC sont colinéaires. On en déduit que
les droites (MP) et (BC) sont parallèles.

A toi de tout vérifier, bon courage ...