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Les vecteurs

Posté par
ERASED 07-04-22 à 12:03

Bonjour ,

Mon professeur m'a donné un exercice concernant les vecteurs mais je n'arrive à débuter l'exercice car selon moi il manque des informations. Pourriez vous s'il vous plaît m'aider à résoudre l'exercice pour essayer de le comprendre . Le voici ci-dessous :

Écrivez chacun des vecteurs suivants sous la forme d'un seul vecteur .
a) BC - BA + BD - BC
b)(AB+CD)-(AB-BC)
c)CD-(FE-GH)-EH-GF-DK+CK
NB: Il doit y avoir des flèche en haut des lettres mais je n'arrive pas à les mettre.
Merci d'avance pour votre aide

Posté par
heklare : Les vecteurs 07-04-22 à 12:08

Bonjour

C'est une utilisation de la relation de Chasles.

\vec{AB}+\vec{BC}=\vec{AC} pour tout A, tout B, tout C.

Posté par
co11re : Les vecteurs 07-04-22 à 22:10

Bonsoir,
a) par exemple (en vecteurs) :
- BA = AB  et - BC = CB
Et puis voir la remarque de hekla

Posté par
ERASEDre : Les vecteurs 11-04-22 à 14:44

Bonjour ,

Merci pour votre aide ,
Je pense avoir trouvé les 2 premiers mais je ne suis pas sûre que ce soit correcte , j'aimerais bien que vous me disiez vos avis  , voici comment j'ai procédé :

a)BC - BA + BD -BC

solution :
Pour résoudre ce calcul j'utilise la relation de chasles soit : AB+BC=AC et j'utilise également la règle de l'opposé tels que AB=-BA pour faciliter les calculs .

Donc ;

BC-BA+BD-BC
=BC + AB +BD +CB
=BD
Je ne l'ai pas dit mais pour trouver ce résultat j'ai construit un parallélogramme ABDC et c'est ce qui m'a aidé à trouver ce résultat .

b) Ensuite pour la réponse b) , j'ai fait de même que pour la (a .
J'ai utilisé la relation de Chasles , la règle de l'opposé et ai construit un parallélogramme ABCD , de sorte que AD=BC et CD=BA .

Donc :

(AB + CD ) - ( AB-BC)
= (AB+CD) + (BA + CB )
=AA = 0 (vecteur nul) + BD
=AC

c) En ce qui concerne le dernier calcul :

CD - (FE - GH) - EH - GF -DK +CK

Je n'y arrive pas  car il y a trop  de lettre pour que je puisse construire un parallélogramme mais si je simplifie le calcul en utilisant la règle de l'opposé ça donne ceci :                                            CD+(EF+HG)+HE+FG+KD+KC   . De plus je ne sais pas si avec la    relation de Chasles on a le droit de construire une figure à 7 côté puisqu'il y a 7 lettre .

Posté par
heklare : Les vecteurs 11-04-22 à 16:28

Bonjour

Vous n'avez rien dit quant à la disposition des points. Il n'y aucune raison pour que les quatre points forment un parallélogramme

D'ailleurs cela n'a pas d'importance pour a) et b). Cela vous a conduit à quelques erreurs.

\vec{BC}-\vec{BA}+\vec{BD}-\vec{BC}

Ce n'est pas \vec{BD}

b)(\vec{AB}+\vec{CD})-(\vec{AB}-\vec{BC}) =\vec{AB}+\vec{CD}-\vec{AB}+\vec{BC}=\vec{BC}+\vec{CD}= \cdots

c) si vous avez 7 points, en général ils sont distincts donc vous pouvez les placer comme vous voulez à moins d'avoir des contraintes.

\vec{CD} - (\vec{FE} -\vec{ GH}) - \vec{EH} - \vec{GF}- \vec{DK} +\vec{CK}

\vec{CD}+\vec{EF} +\vec{GH}+ \vec{HE} + \vec{FG}+ \vec{KD} +\vec{CK}

\vec{CD}+\vec{EF}+ \vec{FG}+\vec{GH}+ \vec{HE} +\vec{CK}+  \vec{KD}

Posté par
ERASEDre : Les vecteurs 11-04-22 à 17:27

En effet pour la a) ce n'est pas égal à BD mais BC .

Mais pour la b) je n'arrive pas à savoir comment vous aviez fait pour trouver BC+CD à la fin (avez-vous construit une figure pour vous aider ?) .
De plus , si je ne dois pas faire de parallélogramme alors comment dois-je faire pour résoudre les calculs ? Concernant la règle de l'opposé AB=-BA . Pourquoi ne l'avez-vous pas appliquée pour la b)(je veux dire par là que même si les - se transforment en + les lettres ne changent pas pourquoi donc ?)  : (AB+CD)-(AB-BC)=AB+CD-AB+BC=BC+CD=BD .
Je pense que cela donne BD d'après la relation de Chasles or je n'arrive pas à comprendre comment avez-vous fait pour passer de AB + CD - AB + BC à BC + CD  ( comment avez vous calculé AB+CD et AB+BC car si je construit une figure ABCD pour AB+CD je trouve AA et pour AB+BC je trouve AC

Avez vous une technique à me conseiller pour que je puisse trouver le bon vecteur ?

Merci pour votre réponse


Posté par
heklare : Les vecteurs 11-04-22 à 18:22

Pour a) on obtient \vec{AD}

Pour b) vous aviez \vec{AB}-\vec{AB}  pourquoi alors se fatiguer à passer à l'opposé ?

Comme les points ne sont pas précisés une figure ne sert pas à grand-chose.

Si vous développez, avec un signe - devant une parenthèse, il faut changer tous les signes donc

-(\vec{AB}-\vec{BC})=-\vec{AB}-(-\vec{BC})=-\vec{AB}+\vec{BC}

Les points étaient quelconques. Il ne fallait pas prendre un parallélogramme.

Dans certains cas, il peut être intéressant de changer de vecteurs (vecteurs égaux évidemment) pour
pouvoir utiliser la relation de Chasles. Dans cet exercice, après les opérations usuelles, changer l'ordre pour être dans une configuration de la relation de Chasles

la relation en b) était

(\vec{AB}+\vec{CD})-(\vec{AB}-\vec{BC})

suppression des parenthèses

=\vec{AB}+\vec{CD}-\vec{AB}+\vec{BC}

  simplification \vec{AB}-\vec{AB}=\vec{0}

Il reste donc après changement de l'ordre pour que l'extrémité de l'un soit le début de l'autre.

=\vec{BC}+\vec{CD}= \vec{BD}


Que donne c) ?

Posté par
ERASEDre : Les vecteurs 11-04-22 à 18:38

En effet mes réponses sont fausses et il n'y a pas besoin de parallélogramme .

Donc grâce à votre aide voici ce que j'ai obtenu :

Pour la a) : BC - BA + BD - BC
=BC + AB + BD +CB
= AB+BC+CB+BD
=AC + CD
= AD

Pour la b):  (AB+CD)-(AB-BC)
=AB+CD-AB+BC= BC + CD = BD

(or je n'arrive pas à comprendre pourquoi avons nous enlevé les parenthèses et pourquoi n'à t-on pas appliqué l'opposé AB=-BA pour -BC et -AB )

Pour la c) : CD-(FE-GH)-EH-GF-DK+CK
=CD+EF+GH+HE+FG+KD+CK
=CD+EF+FG+GH+HE+CK+KD
=CD+EG+GE+CD
=CD+EE+CD
=EE+CD+CD
=0 donc vecteur

Est-ce bien cela ? De plus j'aimerais bien que vous m'expliqueriez pourquoi AB=-BA ne s'applique pas tout le temps .

Merci infiniment pour votre aide

Posté par
heklare : Les vecteurs 11-04-22 à 19:36

Lorsque vous faites un calcul, vous ne gardez pas les parenthèses.

Pour le calcul vectoriel, c'est pareil.

Si l'on remarque un raccourci, rien n'empêche de le prendre.

Vous aviez \vec{AB}-\vec{AB} on peut donc écrire directement \vec{0}

mais si vous tenez à écrire \vec{AB}-\vec{AB}=\vec{AB}+\vec{BA}=\vec{AA}=\vec{0}

C'est vrai, pourquoi faire simple quand on peut faire compliqué.

Moins on fait de calcul, moins on a de chance de se tromper

pour c) on a 2\vec{CD}

On ne peut transformer \vec{CD}

On a donc \vec{0}+1\vec{CD}+1\vec{CD}=(1+1)\vec{CD}=2\vec{CD}

on applique les propriétés de la multiplication d'un vecteur par un nombre réel.

Rappel

1\vec{ u}=\vec{u}

\lambda(\vec{u}+\vec{v})= \lambda\vec{u}+\lambda\vec{v}

(\lambda+\mu)\vec{u}=\lambda\vec{u}+\mu\vec{u}

\lambda(\mu\vec{u})=(\lambda\mu)\vec{u}

Posté par
heklare : Les vecteurs 11-04-22 à 19:38

\vec{AB}=-\vec{BA} s'applique tout le temps, mais ce n'est pas utile à tous les coups

Posté par
ERASEDre : Les vecteurs 11-04-22 à 22:34

Ah Je viens enfin de comprendre votre raisonnement .
MERCI BEAUCOUP pour votre aide et vos explications très claires.
Bonne soirée ,

Posté par
ERASEDre : Les vecteurs 11-04-22 à 22:39

vos explications sont tellement utiles que vous devriez faire une chaine Youtube !

Posté par
heklare : Les vecteurs 11-04-22 à 23:39

De rien

Bonne fin de soirée


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