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Lien analyse géométrie

Posté par
pppa
13-08-16 à 16:26

Bonjour

pouvez-vous svp m'indiquer comment répondre à la dernière question de cet énoncé :

f  est la fonction CARRE :pour tout x réel, f(x) = x².

Démontrer que quels que soient les réels a et b, f(\dfrac{a+b}{2}) \le \dfrac{1}{2}.[{f(a)+f(b)]

FAIT

Interpréter géométriquement cette propriété en faisant intervenir deux points A et B, d'abscisses respectives a et b.

C'est cette dernière question à laquelle je n'arrive pas à répondre. Merci de m'expliquer comment s'interprète géométriquement cette inégalité.

Cordialement

Posté par
alb12
re : Lien analyse géométrie 13-08-16 à 16:33

salut,
fais le dessin

Posté par
malou Webmaster
re : Lien analyse géométrie 13-08-16 à 16:34

Bonjour
tu as tracé la représentation graphique de ta fonction ?
tu prends 2 valeurs a et b, les points images....ça va te sauter aux yeux

Posté par
mdr_non
re : Lien analyse géométrie 13-08-16 à 16:39

bonjour : )

Soient C le point de coordonnées \left(\frac{a + b}{2} , f\left(\frac{a + b}{2}\right)\right).

Pense aux pentes de (AB), (AC) et (BC), \frac{a + b}{2} - a = b - \frac{a + b}{2}.

Note que la première inégalité est claire lorsqu'on sait que f est convexe.

Posté par
pppa
re : Lien analyse géométrie 13-08-16 à 16:40

Bonjour Malou

Oui j'ai fait un graphique, avec plusieurs essais ; je constate que l'inégalité est toujours vérifiée, mais expérimentalement ; mais je n'ai (encore) rien vu qui me permette de l'expliquer dans la généralité...
Après que tu m'auras expliqué, je parie que je vais dire "mais comment n'y ai-je pas pensé avant...."

(pourtant je résiste assez bien à la chaleur....)

Posté par
alb12
re : Lien analyse géométrie 13-08-16 à 16:50

1/2*(f(a)+f(b)) c'est l'ordonnee du milieu de la corde [AB]

Posté par
pppa
re : Lien analyse géométrie 13-08-16 à 17:08

Bonjour à ceux que je n'ai pas encore salué.

Donc si je vous suis bien, l'interprétation géométrique de cette propriété serait que sur la courbe représentative de f,  le point dont l'abscisse est égal à la demi-somme des abscisses de deux points donnés  a son ordonnée nécessairement inférieure à l'ordonnée du milieu du segment formé par ces deux points ?

Mais ça  pour moi c'est la traduction littérale de ce que dit déjà l'inégalité démontrée.
Mais est-ce qu'on peut en déduire une propriété pur des objets géométriques ?

Merci de me dire

Posté par
alb12
re : Lien analyse géométrie 13-08-16 à 17:19

tu as repondu à la question en tout cas

Posté par
pppa
re : Lien analyse géométrie 13-08-16 à 17:33

>>Alb 12 Oui, mais toi tu n'as pas répondu à la mienne

Posté par
carpediem
re : Lien analyse géométrie 13-08-16 à 17:37

salut

en d'autre terme "le milieu sur la courbe" de l'arc AB est en dessus du milieu sur la corde [AB] ...

Posté par
pppa
re : Lien analyse géométrie 13-08-16 à 17:46

>> Carpediem : Hi ! "en-dessOus", on est d'accord ?

Donc pas d'autre interprétation géométrique ? Inutile de chercher midi ..... à 12 h 01 donc ?

Posté par
pppa
re : Lien analyse géométrie 13-08-16 à 17:50

>> Carpediem :  par rapport à ta réponse, je ne pense pas que l'image du milieu des abscisses des points donnés se place au milieu de l'arc de parabole délimité par les deux points images des points donnés.... ou pour deux couples de valeurs bien précises peut être, ...

Posté par
lake
re : Lien analyse géométrie 13-08-16 à 18:46

Bonjour pppa,

Je me permets de revenir sur une des réponses données:

Tu pourrais utilement te documenter (wiki ?) sur la notion de fonction convexe ou de convexité...

Posté par
pppa
re : Lien analyse géométrie 13-08-16 à 19:23

Bonjour Pierre

Effectivement, la fonction carré étant convexe sur son domaine de définition, une des propriétés de la convexité d'une fonction permet d confirmer le résultat qui découle de l'inégalité établie.

Comme je l'indiquais dans un précédent post, l'énoncé , tel que je l'avais compris, me semblait suggérer une conclusion sur des objets géométriques (construction de carrés de côtés donnés par ex.) ; apparemment,  la conclusion de cet exercice porterait sur la position d'un arc de parabole par rapport à la corde qui le sous-tend . Ou bien ai-je manqué quelque chose ?

Posté par
malou Webmaster
re : Lien analyse géométrie 13-08-16 à 19:54

Citation :
Ou bien ai-je manqué quelque chose ?

à mon avis, non...tu n'as rien manqué !....

Posté par
pppa
re : Lien analyse géométrie 13-08-16 à 19:59

Eh bien c'est parfait, merci à toutes et à tous d'être intervenu(e)s ; bon WE

Posté par
malou Webmaster
re : Lien analyse géométrie 13-08-16 à 20:01

de rien, bon WE à toi aussi !....

Posté par
carpediem
re : Lien analyse géométrie 13-08-16 à 20:25

pppa @ 13-08-2016 à 17:46

>> Carpediem : Hi ! "en-dessOus", on est d'accord ?

Donc pas d'autre interprétation géométrique ? Inutile de chercher midi ..... à 12 h 01 donc ?


oui bien sur ...

oui le point de la courbe d'abscisse (a + b)/2 n'est pas le milieu de l'arc ...



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