Niveau enseignement

Lien Log-Exponentielle

Posté par
tanx 31-03-16 à 23:35

Bonjour,
dans la situation où l'on a expliqué l'exponentielle comme solution du problème
y'=y et y(0)=1 puis expliqué le logarithme népérien comme la primitive de x^{-1}
qui s'annule en x=1,comment fait on le lien entre les deux fonctions ?
comment démontrer notamment que ln(e)=1 ?
Merci.

***à poster dans espace profs/enseignement*** merci

Posté par re : Lien Log-Exponentielle 01-04-16 à 00:09

bonjour,

Un moteur de recherche et les mots

démonstration de ln(e) = 1

Trouve celle(s) qui te convien(nen)t

Posté par re : Lien Log-Exponentielle 01-04-16 à 00:11

malou ne t'aurait pas déjà dit :

""""ne vaudrait-il mieux pas poster au niveau enseignement vu ton profil ?"""

Toi au moins tu sais suivre les conseils qu'on te donne !

Posté par re : Lien Log-Exponentielle 01-04-16 à 00:13

Bonsoir,

De façon très heuristique :

ln(x) = y
d(ln(x)).dx = dy
dx/x = dy
dx/dy = x(y)
x'(y) = x(y)
x = exp(y)

Donc le fait que la dérivée de ln(x) soit 1/x et le fait que exp(y) soit défini comme solution de x'(y) = x(y) permet d'établir que si y = ln(x) alors x = exp(y) : ln() et exp() sont réciproques l'une de l'autre.

Reste à refaire le raisonnement rigoureusement en introduisant les conditions initiales dans les équations différentielles et les constantes dans les primitives...

Posté par re : Lien Log-Exponentielle 01-04-16 à 00:28

je démontre
$ln(a^x)=x ln(a)$ pour a>0 x>0
en particulier
$x=ln(exp(x))=ln(e^x)=x ln(e)$
car
$(ln \circ exp)'(x)=\frac{exp(x)}{exp(x)}=1$
$ln \circ exp(x)=x$