Niveau exercices

Lieu de l'orthocentre

Posté par
mathafou 14-03-22 à 11:13

Bonjour,

on donne deux points A et B et une droite (d)

un triangle variable ABC avec C sur (d)
lieu de l'orthocentre H de ABC lorsque C parcourt (d)

partie A
(d) parallèle à (AB)
fait l'objet de l'exercice lieu de pointa
la résolution analytique ne pose aucun problème (quelques lignes)
par contre une solution géométrique est esquissé dans le Lebossé Hemery de Terminale :

lake

758. Dans le triangle $ABC$ , le côté $AB$ est fixe et le point $C$ décrit une parallèle $(d)$ au côté $AB$ . Soit $C'$ la projection de $C$ sur $AB$ et $H$ l'orthocentre du triangle $ABC$ .

1)Le cercle de diamètre $CH$ est orthogonal au cercle de diamètre $AB$ . En déduire le lieu du milieu $\gamma$ de $CH$ et par affinité, celui de $H$ .

2) Montrer que le sommet $D$ du parallélogramme $C'CBD$ est fixe et que le cercle de centre $H$ et tangent à $AB$ , est orthogonal au cercle de diamètre $AD$ . Retrouver ainsi le lieu du point $H$ .

c'est de cette solution géométrique que l'on va discuter ici

Partie B
(d) pas forcément parallèle à (AB) ...

Posté par re : Lieu de l'orthocentre 14-03-22 à 15:29

Bonjour mathafou,

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Posté par re : Lieu de l'orthocentre 14-03-22 à 15:37

Bonjour,

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Posté par re : Lieu de l'orthocentre 14-03-22 à 16:37

Bonjour lake
je trouve la question 1 du L.H. plus facile, même si c'est "du même genre"

Bonjour dpi
avec une simulation sur Geogebra (voir figure de hekla dans l'exercice cité) dans la partie A on a bien "l'allure d'une parabole"
Pour le démontrer
niveau 2nde / 1ère de façon analytique, c'était le but de l'exo cité, ça se fait en 3 lignes : équations de droites et perpendiculaires ou orthogonalité avec un produit scalaire
et pas plus compliqué pour la partie B (disons une ligne de plus ? )

mais ici il s'agit de ne faire que de la géométrie pure et pas des calculs d'équations.

il est archi connu que le lieu des centres des cercles tangents à une droite donnée et à un cercle donné est une parabole (deux paraboles en fait selon tangents intérieurement en rouge vert, ou extérieurement en vert rouge)

$Lieu de l\'orthocentre$

en remplaçant la droite par un cercle, on obtient une hyperbole (deux hyperboles)

le "L.H." (Lebossé Hemery) utilise pour conclure une propriété qu'il a démontré ailleurs (d'où son "en déduire" ) sur des cercles orthogonaux au lieu de tangents, beaucoup moins connue.
les heureux possesseurs du L.H. ont l'avantage de pouvoir en lire la démonstration dans le livre