je vous répond mais je ne sais pas si c'est un peu tard!

condirons que le cercle de contre O a un rayon égal à l'unité 1 pour simplifier.

considérons le repère orthonormé (O,i,j): i est porté par AO de A vers O. j sont perpendiculaire directe.

AM fait avec AO un angle égale à (a).
on sait que dans ce cas OM fait avec AO un angle égal à (2a).

dans le repère (O,i,j) M a pour coordonnées donc: (cos(2a),sin(2a))
et A a pour coordonnées (-1,0).

H est le milieu de AM car le triangle OMA est isoncele de sommet O et OM=OA =1 donc la hauteur OH du triangle OMA est aussi sa médiane donc H est le milieu de AM.

ses coordinnées(Xh,Yh) vérifient donc:

Xh=(Xa+Xm)/2
et Yh=(Ya+Ym)/2

où (Xa,Ya) sont les coordonnées de A dans (O,i,j)

et (Xm,Ym) sont les coordonnées de M dans (O,i,j)

donc Xh=(-1+cos(2a))/2
         Yh=sin(2a)/2

donc

2Xh+1=cos(2a) et 2Yh=sin(2a)

comme cos²(2a)+sin²(2a)=1

donc

(2Xh+1)² + (2Yh)²=1

donc 4(Xh+1/2)²+4Yh²=1

donc (Xh+1/2)²+Yh²=1/4

c'est donc le cercle de centre (-1/2,0) et de rayon 1/2.

je vous remercie