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lieu des points M tels que MA/MB=k, k>0

Posté par
sgu35 21-05-20 à 22:20

Bonsoir,
j'ai besoin d'un coup de pouce sur une propriété de cours :
On fixe deux points distincts A et B. La distance AB sera notée 2d.
On introduit le point I le milieu de [AB].
On montre que l'ensemble des points M tels que MA/MB=k, k>0 est un cercle défini par son centre \Omega_k et son rayon R_k :
\vec{I\Omega_k}=\dfrac{1+k^2}{1-k^2}\vec{IA}
et R_k=\dfrac{2k}{|1-k^2|}d

Je voudrais montrer que si k>1, le rayon R_k diminue lorsque k augmente.
J'ai réussi à montrer que si k<1, le rayon R_k augmente lorsque k augmente.
On pourrait poser k_1 et k_2 tels que k_1<k_2 mais je n'aboutis que lorsque k<1.

Posté par
lafol Moderateurre : lieu des points M tels que MA/MB=k, k>0 21-05-20 à 22:25

Bonjour
si k > 1 > -1, tu peux déterminer le signe de 1-k² et donc te passer de la valeur absolue
ensuite, connais-tu la dérivée ? ça reste un moyen assez simple pour étudier des variations (mais j'ai bien peur que ton rayon augmente avec k, quand k > 1)

Posté par
sgu35re : lieu des points M tels que MA/MB=k, k>0 21-05-20 à 22:30

En effet ça marche en dérivant \dfrac{2k}{k^2-1}d : on trouve que sa dérivée est : \dfrac{-2k^2-2}{(k^2-1)^2}d, qui est négatif. cqfd

Posté par
sgu35re : lieu des points M tels que MA/MB=k, k>0 21-05-20 à 22:31

Citation :
En effet ça marche en dérivant \dfrac{2k}{k^2-1}d : on trouve que sa dérivée est : \dfrac{-2k^2-2}{(k^2-1)^2}d, qui est négatif. cqfd

car 1-k^2<0 quand k>1

Posté par
sgu35re : lieu des points M tels que MA/MB=k, k>0 21-05-20 à 22:32

Citation :
Bonjour
si k > 1 > -1, tu peux déterminer le signe de 1-k² et donc te passer de la valeur absolue

pourquoi a-t-on besoin de savoir que k>-1 lorsque k>1?

Posté par
GBZMre : lieu des points M tels que MA/MB=k, k>0 21-05-20 à 23:01

Bonsoir,

On peut raisonner géométriquement.
Si k>1, on est dans le demi-plan délimité par la médiatrice qui contient B, et le cercle des M tels que MA/MB=k contient B à l'intérieur et divise le plan en deux régions : l'intérieur du cercle où MA/MB >k et l'extérieur où MA/MB <k. Le cercle correspondant à k'>k  est donc à l'intérieur de celui correspondant à k, et par conséquent il est de rayon plus petit.

Posté par
sgu35re : lieu des points M tels que MA/MB=k, k>0 21-05-20 à 23:06

Comment trouve-t-on que le cercle contient B?

Posté par
GBZMre : lieu des points M tels que MA/MB=k, k>0 21-05-20 à 23:12

Parce que B est beaucoup plus près de B que de A.

Posté par
sgu35re : lieu des points M tels que MA/MB=k, k>0 21-05-20 à 23:16

euh je ne comprends pas...

Posté par
sgu35re : lieu des points M tels que MA/MB=k, k>0 21-05-20 à 23:36

On peut aussi dire ceci :
si k augmente, les points M se rapprochent de B.

Posté par
sgu35re : lieu des points M tels que MA/MB=k, k>0 21-05-20 à 23:48

A part ça, je voudrais montrer que les cercles C_k et C_{1/k} sont symétriques par rapport à \Delta (qui est la médiatrice de [AB]) Des idées?

Posté par
sgu35re : lieu des points M tels que MA/MB=k, k>0 22-05-20 à 00:01

Bon c'était pas trop dur : pour que les cercles en question soient symétriques par rapport à \Delta, il faut et il suffit que \vec{\Omega_kI}=-\vec{\Omega_{1/k}I} et R_k=R_{1/k}

Posté par
lafol Moderateurre : lieu des points M tels que MA/MB=k, k>0 22-05-20 à 00:25

sgu35 @ 21-05-2020 à 22:32

Citation :
Bonjour
si k > 1 > -1, tu peux déterminer le signe de 1-k² et donc te passer de la valeur absolue

pourquoi a-t-on besoin de savoir que k>-1 lorsque k>1?

on n'en a pas besoin, c'était dans l'optique "règle des signes" : 1-k²=(1-k)(1+k) (mais k>1 donne k+1> 2 > 0 de toutes façons)

et j'ai trouvé pourquoi je t'ai dit n'importe quoi sur les variations : j'ai fait mon calcul dans le cas où k est inférieur à 1, avec la valeur absolue égale à 1-k²...

Posté par
sgu35re : lieu des points M tels que MA/MB=k, k>0 22-05-20 à 00:26

ok j'ai compris


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