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Lieu géométrique
Bonjour,
Je n'arrive pas à trouver la réponse à la question de cet énoncé :
Soit un cercle C de centre O ; P un point extérieur à C. Une droite (D) passant par P coupe C en deux points A et B. M est le point d'intersection des tangentes à C, l'une en A, l'autre en B.
Quel est le lieu géométrique de M quand A (ou B) se déplace sur C ?
En traçant plusieurs figures, on constate que M se déplace sur une droite perpendiculaire à la droite (OP), mais comment diable le prouver ?
Merci d'avance à ceux qui pourront m'aider.
Bonjour,
Je n'arrive pas à trouver la réponse à la question de cet énoncé :
Soit un cercle C de centre O ; P un point extérieur à C. Une droite (D) passant par P coupe C en deux points A et B. M est le point d'intersection des tangentes à C, l'une en A, l'autre en B.
Quel est le lieu géométrique de M quand A (ou B) se déplace sur C ?
En traçant plusieurs figures, on constate que M se déplace sur une droite perpendiculaire en un point fixe, mais que je n'arrive pas a prouver, à la droite (OP).
Merci d'avance à ceux qui pourront m'aider.
*** message déplacé ***
Bonsoir,
Par des considérations de triangles isocèles et d'angles, tu dois pouvoir montrer que M est sur la médiatrice de [AB] privée de la partie dans le cercle (diamètre).
En effet, A et B sont sur le cercle, donc OA = OB , donc AOB est isocèle en O, donc l'angle OAB et l'angle OBA sont égaux.
Ensuite, les angles MBO et OBA sont complémentaires par construction, de même avec MAO et OAB etc...
Attention à la position de la droite qui ne coupe pas forcément le cercle en 2 points.
Bonne soirée
je comprends pas bien ce qui bouge là dedans .... si A se déplace sur (C) , B reste fixe ? Du coup, A n'est plus sur (D)? Ou bien B bouge avec A, et P reste fixe, de façon à ce que les trois points restent alignés ? C'est pas très clair ...
:?
Pas évident ton problème !!
Tu dois pouvoir démontrer que la droite d qui joint O à l'intersectionde AM et PP' est un axe de symétrie ..
P sym de M
P' symétrique de A
Comme PA est perpendiculaire à OM et que la symétrie conserve les angles
MP' est perpendiculaire à OP..
Donc l'ensemble des points M est la perpendiculaire menée de P' à OP ...!!
OUF !
Bonsoir,
comme j'ai passé un peu de temps à faire une figure et que j'arrive après la guerre je la met quand même na 
Salut 
Soit (C') le cercle de diamètre [OP].
(C) et (C') se coupent en D et E.
Le lieu de M est la droite (DE) privée du segment [DE] ou bien
Le lieu de M est la partie de la droite (DE) extérieure aux cercles (C) et (C').
Ce lieu est la réunion de deux demi-droites.
Démonstration à suivre ...
personne d'autre n'arrive à trouver cet exo ?! ... Moi je sèche aussi ... je vais continuer à chercher quand même ...
C'est fou, c'est du niveau seconde pourtant ...
On a la réponse, mais la démo .....c'est pas gagné !
J'ai bien une démonstration mais pas du niveau seconde
(et même d'aucun niveau lycéen, l'inversion ayant semble-t-il disparu des programmes de lycée).
Je résume :
Soit R le rayon de (C).
(OM) et (AB) se coupent en K.
POK étant rectangle en K, le lieu de K est la partie du cercle de diamètre [PO] intérieure au cercle (C).
J'appelle A celui des 2 points A et B le plus proche de P.
OAM est rectangle en A donc soit
M est l'image de K dans l'inversion de pôle O et de puissance R2 donc
le lieu de M est l'image du lieu de K dans cette inversion d'où le résultat que j'ai indiqué ci-dessus.
en effet, c'est pas du programme mais déjà on a une démo ... j'ai pas encore lu, mais c balaise d'y penser à ca...
Notons que seul rené38 à précisé en quel point (OP) et l'ensemble des points M se coupaient !
Variante... avec les notations de René.
Idée avec vocabulaire pour anciens : M a même puissance par rapport aux deux cercles donc est sur leur axe radical, c'est à dire (CD).
MA²=MK.MO (relation métrique dans le triangle OAM rectangle en A).
D'une part MA²=MO²-r²
D'autre part MK.MO=MO'²-r'² (1)
M tel que MO²-MO'²=r²-r'² se trouve sur une perpendiculaire à (OO')(2) et cette perpendiculaire passe par C et D puisque CO²-CO'²=r²-r'² et DO²-DO'²=r²-r'².
Il reste à étudier la réciproque et exclure [CD] de (CD).
(1) Question classique (abordable en troisième ?)
(2) Indications : montrer que MO²-MO'²=2IH.OO' où H est le projeté orthogonal de M sur (OO') et I le milieu de [OO'] et en déduire que H est fixe (calcul vectoriel abordable en première ?)
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