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Niveau Maths sup
Lieux de points, et équations complexes
Posté par Stalf
Bonjour,
J'ai un DM a rendre pour la semaine prochaine et j'ai besoin d'un peu d'aide.
Déterminer l'ensemble des points M(z) qui vérifient:
1) |z+(1/z)|=2
Ici, j'ai utilisé la forme exponentielle de z après avoir élevé les deux membres de l'égalité au carré. Après avoir développé, j'arrive a cette expression: r²+(1/r²)+4cos²(a)=6 avec a=arg(z). Je ne pense pas que cette expression permette de conclure, mais je ne vois pas vraiment d'autre moyen pour démarrer...
2) A(z) B(z²) et C(z^3) forment un triangle rectangle
Ici, je pense qu'il faut considérer 3 cas différents, selon le sommet du triangle rectangle. J'ai essayé d'utiliser le produit scalaire avec les coordonnées des vecteurs pour avoir l'orthogonalité, ou encore le théorème de Pythagore. Aucune de ces solutions ne sont utilisables...
Résoudre les équations suivantes:
1)(z+i)^n = (z-i)^n avec n
2
Ici, je bloque totalement, je ne vois pas du tout comment démarrer la résolution... Peut-être la formule du binôme?
2)arg(z)=arg(z+3+i)[2
] ET |z|=|z-2|
3)Soient a b et c 3 nombres complexes. (z-a)^n-c(z-b)^n =0.Montrer que les images sont soit sur un cercle, soit sur une droite.
Ici, j'ai pensé a utiliser la formule du binôme, mais je ne trouve aucune relation permettant de conclure...
Merci d'avance pour votre aide
Pour le 1), je trouve r2+(1/r)2+2cos(2a) = 4
Après triturations diverses, on trouve r2 = cos(2a)+2+
(cos(2a)+1)(cos(2a)+3) et r2 = cos(2a)+2-(cos(2a)+1)(cos(2a)+3)
Je n'ai pas étudié ces fonctions en détail. Si ça peut t'aider (j'espère ne pas avoir commis d'erreur...)
Bonjour,
J'ai un peu cherché pour la question 2 :
En écrivant que
et en utilisant Pythagore
Pour le cas ABC rectangle en B, je trouve qu'on doit avoir et donc que z est imaginaire pur.
En utilisant les mêmes égalités, je trouve que si le triangle est rectangle en C alors A est sur le cercle de cente (-1/2,0) et de rayon 1/2 ; et que si le triangle est rectangle en A alors A est sur la droite x=-1.
Bonjour.
En utilisant la forme z = x + iy et la formule je trouve :
(x² + y² + 2y - 1)(x² + y² - 2y - 1) = 0
L'équation 1 peut aussi s'écrire donc
est une racine nième de l'unité
C'est une piste mais je ne l'ai pas vraiment explorée 
bonjour,
pour l'équation 1)
*tu peux d'abord remarquer que cette équation en apparence de degré n n'est que de degré n-1 les termes de degré n ayant le même coefficient dans chacun des membres
*tu vérifies que z=i n'est pas solution ,l'équation peut alors s'écrire comme te l'a indiqué geodefroy-lehardi
soit en posant
tu es donc ramené à résoudre pour Z différent de 1 ...
Bonjour
1) |z+(1/z)|=2
z<>0
on voit déjà que les réels 1 et -1 sont solutions
z=x+iy
|z²+1|²=4|z|²
(x²-y²+1)²+(2xy)²=4x²+4y²
x^4+y^4+1+2x²-2y²-2x²y²+4x²y²-4x²-4y²=0
x^4+y^4+1-2x²-2y²+2x²y² -4y² = 0
(x²+y²-1)²-4y²=0
(x²+y²-2y-1)(x²+y²+2y-1)=0
(x²+(y-1)²-2)(x²+(y+1)²-2)=0
réunion des deux cercles de centres (0;1) et (0;-1) et rayon racine(2)
Je trouve presque comme godefroy_lehardi, mais avec des signes moins placés différemment :
r = racine( 2-cos(2t)+racine((cos(2t)-1)(cos(2t)-3)) )
r = racine( 2-cos(2t)-racine((cos(2t)-1)(cos(2t)-3)) )
on peut d'ailleurs vérifier, dans l'équation du départ, que 1+2i est bien solution
Rudy
Bonsoir raymond
Oui, et ta méthode est plus rapide
pour le 2°, est-ce un système ? si oui, je ne trouve que z=1+i/3
Rudy
Bonjour,
Tout d'abord j'aimerais tous vous remercier pour votre aide.
J'aurais juste besoin d'une précision, pour le systeme ( équation 2 ). En posant z=x+yi, j'ai trouvé qu'on avait x=1 grâce a l'équation avec le module. Cependant, je n'arrive pas a avancer plus que ça... une petite piste?
bonjour,
si A est le point(2,0)=>M est sur la médiatrice de OA=>R(z)=1 donc
tu écris que Z et z ont le même argument
je trouve la même chose que Rudy: y=