Bonjour, je suis élève de 1ère S, et j'ai un DM à rendre dans deux semaines, mais je suis bloqué à un certain point et je ne vois pas de solution...Je remercie d'avance ceux qui voudront bien m'aider. Voici l'énoncé :
Soit A et B deux points tels que AB=4 cm.
Le but de cet exercice est de déterminer de trois manières différentes l'ensemble des points M du plan tel que MA/MB= 5
1. Démontrer que MA/MB= 5 équivaut à MA²-25MB² = 0
2. Première méthode
Soit G et G' les points définis par : vecteurAG = 5/6 du vecteurAB
vecteurAG' = 5/4 du vecteurAB
a. Démontrer que G est le barycentre du système pondéré (A;1);(B;5) et G' le barycentre du système pondéré (A;1);(B;-5)
b. Démontrer que vecteurMA + 5 vecteurMB = 6 vecteurMG et vecteurMA - 5 vecteurMB = -4 vecteurMG
c. Exprimer MA²-25MB² en fonction de vecteurMG et vecteurMG'
d. Conclure
3. Deuxième méthode
Soit K le point défini par vecteurAK= 25/24 vecteurAB
a. Démontrer que K est le barycentre du système pondéré (A;1);(B;-25)
b. Calculer KA² et KB²
c. Exprimer MA²-25MB² en fonction de MK²
d. Conclure
4. Troisième méthode
On considère le repère orthonormé (A ; vecteuri ; vecteurj) avec :
vecteuri= 1/4 vecteurAB; (vecteuri ; vecteurj)= pi/2 [2pi] et //vecteurj//= 1
a. Quelles sont les coordonnées du point B dans ce repère ?
b. Exprimer MA²-25MB² en fonction des coordonnées x et y du point M.
c. Conclure
5. Vérifier que l'on trouve bien le même résultat par les trois méthodes.
J'ai réussi à faire le 1, le 2.a.b. mais je ne suis pas du tout sur du c.
Je trouve (6 vecteurMG) . (-4 vecteurMG')
(le . signifie "produit scalaire")
J'ai aussi fait le 3.a. mais je suis bloqué pour tout le reste...voilà encore merci à ceux qui auront le courage de lire tout ça et à ceux qui sauront me répondre...
Je vais continuer à chercher ! ^^
bonjour
c)MA²-25MB²=(MA+5MB).(MA-5MB) en produit scalaire de vecteur ici MA par exemple est un vecteur
=(6MG).(-4MG')
=-24MG.MG'
d) MA/MB=5 ssi MA²-25MB²=0 et M différent de B
ssi -24MG.MG'=0 et M différent de B
ssi MG.MG'=0 et M différent de B
c'est donc le cercle de diamètre [GG'] privé de B.
question est ce que B appartient à ce cercle?
Merci beaucoup, et pour ta question, ben...je pense que non, B n'appartient pas à ce cercle car cela équivaudrait à dire que B=M et dans ce cas, la relation serait fausse...
J'ai réussi à faire le 3.b mais je trouve qqch de bizarre : pour KA² je trouve 625/36 et pour KB², 1/36
et je bloque toujours pour la suite...merci à celui ou celle qui arrivera à m'aider...
Ah non, rectification, je trouve KA²= -50/3 et KB²= 2/3
Ce qui est "étrange", c'est que pour la question 3.c. je tombe sur -24MK² - 50/3 -25(2/3) = -24MK² - 100/3
Je pense qu'il y a une erreur de signe mais je ne vois pas où...
3. Deuxième méthode
K le point défini par AK= (25/24)AB
a. AK= (25/24)AB
donc 24AK=25AB=25(AK+KB) ; chasles
donc 24AK-25AK-25KB=0
donc -AK+25BK=0
donc AK-25BK=0
donc K est le barycentre du système pondéré (A;1);(B;-25)
b. AK²=(625/576)AB²=(625/576)16=625/36=(25/6)²
BK=(1/25)AK donc BK²=(1/625)(625/36)=1/36
c. Exprimer
MA²-25MB²=(MK+KA)²-25(MK+KB)²
=MK²+2MK.KA+KA²-25(MK²+2MK.KB+KB²)
=-24MK²+2MK.(KA-25KB)+KA²-25KB²
=-24MK²+(625/36)-25/36
=-24MK²+600/36
=-24MK²+100/6
=-24MK²+50/3
d. M²-25MB²=0 ssi -24MK²+50/3=0
ssi MK²=(50/3)(1/24)=25/36
ssi MK=(5/6)
c'est donc le cercle de centre K et de rayon 5/6
Merci beaucoup, ça m'a énormément aidé !
Si quelqu'un a une idée pour la suite ce serait vraiment génial...je vais chercher en attendant...
Pour les coordonnées de B, je dirai 3i;0j mais je ne saurai pas le démontrer, c'est simplement par déduction et encore, je n'en suis pas sur....
Et bien je ne suis pas du tout sur de la manière d'exprimer MA et MB en fonction des coordonnées de M, je pense qu'il faut utiliser la formule AB= ((xB-xA)²+(yB-yA)²)
En utilisant cette formule, j'obtient :
((0-x)²+(0-y)²)² + 25(((4-x)²+(0-y)²)² = 400-200x+26x²+26y²
Ben alors on tombe sur -24x²-24y²+200x-400, et il me semble qu'on ne peut pas faire apparaître une équation de cercle avec la forme canonique à partir de ça puisqu'il y a des coefficients devant x et y...
Tu sais depuis le début ce que vaut MA² - 25 MB² .... Alors, tu peux compléter l'expression sur laquelle tu es tombé pour en faire une équation.
Ensuite, tu peux tout diviser par - 24 et déterminer la forme canonique.
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