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Niveau première
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Ligne de niveau (3)

Posté par
38t7fh
19-04-11 à 11:09

Bonjour, je suis élève de 1ère S, et j'ai un DM à rendre dans deux semaines, mais je suis bloqué à un certain point et je ne vois pas de solution...Je remercie d'avance ceux qui voudront bien m'aider. Voici l'énoncé :

Soit A et B deux points tels que AB=4 cm.
Le but de cet exercice est de déterminer de trois manières différentes l'ensemble des points M du plan tel que MA/MB= 5

1. Démontrer que MA/MB= 5 équivaut à MA²-25MB² = 0

2. Première méthode
Soit G et G' les points définis par :  vecteurAG = 5/6 du vecteurAB
                                       vecteurAG' = 5/4 du vecteurAB

a. Démontrer que G est le barycentre du système pondéré (A;1);(B;5) et G' le barycentre du système pondéré (A;1);(B;-5)

b. Démontrer que vecteurMA + 5 vecteurMB = 6 vecteurMG et vecteurMA - 5 vecteurMB = -4 vecteurMG

c. Exprimer MA²-25MB² en fonction de vecteurMG et vecteurMG'

d. Conclure



3. Deuxième méthode
Soit K le point défini par vecteurAK= 25/24 vecteurAB

a. Démontrer que K est le barycentre du système pondéré (A;1);(B;-25)

b. Calculer KA² et KB²

c. Exprimer MA²-25MB² en fonction de MK²

d. Conclure



4. Troisième méthode
On considère le repère orthonormé (A ; vecteuri ; vecteurj) avec :

vecteuri= 1/4 vecteurAB;    (vecteuri ; vecteurj)= pi/2 [2pi] et //vecteurj//= 1

a. Quelles sont les coordonnées du point B dans ce repère ?

b. Exprimer MA²-25MB² en fonction des coordonnées x et y du point M.

c. Conclure



5. Vérifier que l'on trouve bien le même résultat par les trois méthodes.





J'ai réussi à faire le 1, le 2.a.b. mais je ne suis pas du tout sur du c.
Je trouve (6 vecteurMG) . (-4 vecteurMG')
(le . signifie "produit scalaire")
J'ai aussi fait le 3.a. mais je suis bloqué pour tout le reste...voilà encore merci à ceux qui auront le courage de lire tout ça et à ceux qui sauront me répondre...
Je vais continuer à chercher ! ^^

Posté par
watik
re : Ligne de niveau (3) 19-04-11 à 11:55

bonjour

c)MA²-25MB²=(MA+5MB).(MA-5MB) en produit scalaire de vecteur ici MA par exemple est un vecteur
           =(6MG).(-4MG')
           =-24MG.MG'

d) MA/MB=5 ssi MA²-25MB²=0 et M différent de B
           ssi -24MG.MG'=0 et M différent de B
           ssi MG.MG'=0 et M différent de B
c'est donc le cercle de diamètre [GG'] privé de B.

question est ce que B appartient à ce cercle?

Posté par
38t7fh
re : Ligne de niveau (3) 19-04-11 à 16:42

Merci beaucoup, et pour ta question, ben...je pense que non, B n'appartient pas à ce cercle car cela équivaudrait à dire que B=M et dans ce cas, la relation serait fausse...

J'ai réussi à faire le 3.b mais je trouve qqch de bizarre : pour KA² je trouve 625/36 et pour KB², 1/36
et je bloque toujours pour la suite...merci à celui ou celle qui arrivera à m'aider...

Posté par
38t7fh
re : Ligne de niveau (3) 19-04-11 à 18:17

Ah non, rectification, je trouve KA²= -50/3 et KB²= 2/3
Ce qui est "étrange", c'est que pour la question 3.c. je tombe sur -24MK² - 50/3 -25(2/3) = -24MK² - 100/3

Je pense qu'il y a une erreur de signe mais je ne vois pas où...

Posté par
Priam
re : Ligne de niveau (3) 19-04-11 à 18:48

Une valeur négative pour KA², c'est étrange aussi ....

Posté par
watik
re : Ligne de niveau (3) 19-04-11 à 19:48

3. Deuxième méthode
K le point défini par AK= (25/24)AB

a. AK= (25/24)AB
donc 24AK=25AB=25(AK+KB)    ; chasles
donc 24AK-25AK-25KB=0
donc -AK+25BK=0
donc AK-25BK=0
donc K est le barycentre du système pondéré (A;1);(B;-25)

b. AK²=(625/576)AB²=(625/576)16=625/36=(25/6)²
BK=(1/25)AK donc BK²=(1/625)(625/36)=1/36

c. Exprimer
MA²-25MB²=(MK+KA)²-25(MK+KB)²
         =MK²+2MK.KA+KA²-25(MK²+2MK.KB+KB²)
         =-24MK²+2MK.(KA-25KB)+KA²-25KB²
         =-24MK²+(625/36)-25/36
         =-24MK²+600/36
         =-24MK²+100/6
         =-24MK²+50/3


d. M²-25MB²=0 ssi -24MK²+50/3=0
              ssi MK²=(50/3)(1/24)=25/36
              ssi MK=(5/6)
c'est donc le cercle de centre K et de rayon 5/6

Posté par
38t7fh
re : Ligne de niveau (3) 20-04-11 à 15:05

Merci beaucoup, ça m'a énormément aidé !
Si quelqu'un a une idée pour la suite ce serait vraiment génial...je vais chercher en attendant...

Posté par
38t7fh
re : Ligne de niveau (3) 20-04-11 à 15:31

Pour les coordonnées de B, je dirai 3i;0j mais je ne saurai pas le démontrer, c'est simplement par déduction et encore, je n'en suis pas sur....

Posté par
Priam
re : Ligne de niveau (3) 20-04-11 à 17:22

Pour B, je dirais plutôt  AB = 4i + 0j, soit B(4; 0).

Posté par
38t7fh
re : Ligne de niveau (3) 25-04-11 à 11:08

Ah, oui peut être...par contre je suis toujours bloqué pour la suite...(dsl pour le retard)

Posté par
Priam
re : Ligne de niveau (3) 25-04-11 à 15:44

4.b  Qu'est-ce qui t'empêche de calculer  MA² - 25 MB² ?

Posté par
38t7fh
re : Ligne de niveau (3) 25-04-11 à 19:11

Et bien je ne suis pas du tout sur de la manière d'exprimer MA et MB en fonction des coordonnées de M, je pense qu'il faut utiliser la formule AB= ((xB-xA)²+(yB-yA)²)

En utilisant cette formule, j'obtient :
((0-x)²+(0-y)²)² + 25(((4-x)²+(0-y)²)² = 400-200x+26x²+26y²

Posté par
Priam
re : Ligne de niveau (3) 25-04-11 à 19:36

Oui, c'est presque ça, car il faut écrire  - 25 ... et non  + 25 ....

Posté par
38t7fh
re : Ligne de niveau (3) 25-04-11 à 20:02

Ben alors on tombe sur -24x²-24y²+200x-400, et il me semble qu'on ne peut pas faire apparaître une équation de cercle avec la forme canonique à partir de ça puisqu'il y a des coefficients devant x et y...

Posté par
Priam
re : Ligne de niveau (3) 25-04-11 à 21:38

Tu sais depuis le début ce que vaut MA² - 25 MB² .... Alors, tu peux compléter l'expression sur laquelle tu es tombé pour en faire une équation.
Ensuite, tu peux tout diviser par  - 24  et déterminer la forme canonique.

Posté par
38t7fh
re : Ligne de niveau (3) 26-04-11 à 10:37

J'y suis enfin arrivé, merci beaucoup !!



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