Bonjour ,

Merci d'avance.

L'unité est le centimètre.

On considère dans le plan le triangle ABC tel que AB=7 , BC=4 et AC=5.

est le est le milieu de [BC].

1) Démontrer que .
2) Soit M un point du plan. Pour quelle valeur du nombre m le vecteur est indépendant du point M ?

a-) Déterminer le vecteur en fonction du vecteur .

b) Déterminer et construire (E) l'ensemble des points M du plan tels que : -2MA²+MB²+MC²=-58.

3) Soit D le barycentre du système {(A, -1) ; (B, 1) ; (C,1)}.

a-) Démontrer que le quadrilatère ABCD est un parallélogramme.

b-) Déterminer et construire l'ensemble (F) des points M du plan tels que : -MA²+MB²+MC²=-25.

Réponses

1) ABC est un triangle tel que AB=7 , BC=4 et AC=5.

On a le milieu de [BC].

D'après le théorème des médianes ;



.

2) M du plan , .

est indépendant du point M si et seulement si

D'où .

a-) .

Considérons le milieu de [BC].





car .

b) .

donc le vecteur donc le vecteur est indépendant du point M.

D'où .

Donc

.

* IB=2 et IC=2 car I est le milieu de [BC].

D'où







D'où (E) est la droite perpendiculaire à (IA) passant par le point .

(Voir figure).

3-a) D=bar{(A, -1) ; (B, 1) ; (C, 1)}

Or ABCD est un parallélogramme si et seulement si



.

Donc ABCD est un parallélogramme

D=bar{(A, -1) ; (B, 1) ; (C, 1)}

D'où D=bar{(A, -1) ; (B, 1) ; (C, 1)} ABCD est un parallélogramme.

b-)

D=bar{(A, -1) ; (B, 1) ; (C, 1)}

D'où











(F) est le cercle de centre D et de rayon .

(Voir figure).

FIGURE