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Ligne de niveau (a+b+c+d=0)

Posté par
matheux14 14-09-20 à 17:03

Bonjour ,

Merci d'avance.

ABCD est un rectangle tels que AB=a et AD=2a où a \in \R*.

O et ON sont les milieux respectifs de [AB] et [CD].

\text{I} est le milieu de [OO'].

1) Déterminer et construire l'ensemble (Γ) des points M du plan tels que : MA²+MB²+MC²+MD²=6a²

2) Soit (E) l'ensemble des points M du plan tels que : MA²+MB²-MC²-MD²=4a²

a-) Démontrer que M \in (E) \iff \vec{IM}.\vec{OO'}=a²

b-) Déterminer et construire l'ensemble (E).

Réponse

1) M\in (Γ) \iff MA²+MB²+MC²+MD²=6a² , \forall a \in \R*.

1+1+1+1=4 ≠ 0.

Or \text{I} est le centre du rectangle ABCD , car \text{I} est le milieu de [OO'] et O est le milieu de [AB] , ON est le milieu de [CD].

D'où \text{I}=bar{(A, 1) ; (B, 1) ; (C, 1) ; (D, 1)}

Donc M \in (Γ) \iff 4MI²+IA²+IB²+IC²+ID²=6a².

ABCD étant un rectangle ; \text{I} est son centre.

D'où \text{I} est le milieu de [AC] ; [BD] et AC=BD.
Donc IA=IC=IB=ID.

Les triangles ACD et DBC sont rectangles respectivement en D et en C.

Par conséquent ; AC²=AD²+DC²

AC=a\sqrt{5}.

Donc IA=IC=IB=ID=\dfrac{a\sqrt{5}}{2}.

D'où M \in (Γ) \iff 4MI²+(\dfrac{a\sqrt{5}}{2})²×4=6a²

\iff 4MI²+\dfrac{5a²}{4}×4=6a²

\iff 4MI²+5a²=6a²

\iff 4MI²=a²

\iff MI=\dfrac{a}{2}.

(Γ) est le cercle de centre \text{I} et de rayon \dfrac{a}{2}.

2) M \in (E) \iff MA²+MB²-MC²-MD²=4a²

a-) 1+1-1-1=0.

D'où le vecteur \vec{MA}+\vec{MB}-\vec{MC}-\vec{MD} est indépendant du point M.

En introduisant le point I , çà ne marche pas.

Le point O non plus ..

Le point O' non plus..

Mezalors en considérant O milieu de [AB] puis introduction de O dans [AB] , et pareil pour O' , çà non plus...

J'aimerais avoir une idée claire là dessus , si possible une explication..

Posté par
mathafou Moderateurre : Ligne de niveau (a+b+c+d=0) 14-09-20 à 17:23

Bonjour,

"mézalors" ... si ça marche
introduction de O dans MA² + MB² et introduction de O' dans -(MC² + MD)²
on aboutit bien à ce qui est demandé

montre les calculs qui te font croire que non.

Posté par
mathafou Moderateurre : Ligne de niveau (a+b+c+d=0) 14-09-20 à 17:26

PS :
nota : énoncé loufoque avec "ON" qui doit être O'

... dans -(MC² + MD²) bien entendu
(parenthèse mal placée)

Posté par
matheux14re : Ligne de niveau (a+b+c+d=0) 14-09-20 à 18:06

Citation :
En introduisant le point I , çà ne marche pas.

Le point O non plus ..

Le point O' non plus..

Mezalors en considérant O milieu de [AB] puis introduction de O dans [AB] , et pareil pour O' , çà non plus...


Je fais comment pour reconnaitre ce qu'il faut faire d'un coup ?

Posté par
mathafou Moderateurre : Ligne de niveau (a+b+c+d=0) 14-09-20 à 18:35

??? je ne comprends pas tes difficultés au vu de tout ce que tu as fait correctement par ailleurs.

MA² + MB² - MC² - MD² = (MA² + MB²) - (MC² + MD²)

tu sais tout de même (sans réciter mécaniquement des recettes de cuisine) remplacer \vec{MA} = \vec{MO}+\vec{OA} la dedans et pareil pour les autres
(avec O' pour MC et MD) et développer
c'est à dire refaire ce qui a été fait en cours pour démontrer les "recettes de cuisine" au lieu de les appliquer avec des oeillères.

Posté par
matheux14re : Ligne de niveau (a+b+c+d=0) 14-09-20 à 20:24

M \in (E) \iff MA²+MB²-(MC²+MD²)=4a²

\iff (\vec{MO}+\vec{OA})²+(\vec{MO}+\vec{OB})²-[(\vec{MO'}+\vec{O'C})²+(\vec{MO'}+\vec{O'D})²]=4a²

\iff MO²+2\vec{MO}.\vec{OA}+OA²+MO²+2\vec{MO}.\vec{OB}+OB²-[MO'²+2\vec{MO'}.\vec{O'C}+O'C²+MO'²+2\vec{MO'}.\vec{O'D}+O'D²]=4a²

\iff MO²+2\vec{MO}.\vec{OA}+OA²+MO²+2\vec{MO}.\vec{OB}+OB²-MO'²-2\vec{MO'}.\vec{O'C}-O'C²-MO'²-2\vec{MO'}.\vec{O'D}-O'D²=4a²

\iff 2MO² -2MO'²+\vec{MO}.(2\vec{OA}+2\vec{OB})+OA²+OB²+\vec{MO'}.(-2\vec{O'C}-2\vec{O'D})-O'C²-O'D²=4a²

Y'a (2\vec{OA}+2\vec{OB}) et (-2\vec{O'A}-2\vec{O'B}) qui annulent les seuls vecteur souhaité ici ..

Posté par
mathafou Moderateurre : Ligne de niveau (a+b+c+d=0) 14-09-20 à 20:41

OUI

ça donne
2\vec{MO}^2 -2\vec{MO'}^2+OA²+OB²-O'C²-O'D²=4a²
il faut continuer !
OA, OB, O'C, O'D se simplifient si on les remplace par leur valeur en fonction de a

et j'ai écrit MO^2= \vec{MO}^2 etc pour suggérer une décomposition en produit scalaire de MO² - MO'²

MO^2 - MO'^2 = \vec{MO}^2 - \vec{MO'}^2 = \left(\vec{MO} + \vec{MO'}\right).\left(\vec{MO} - \vec{MO'}\right) = ...

Posté par
matheux14re : Ligne de niveau (a+b+c+d=0) 14-09-20 à 20:51

(\vec{MO} + \vec{MO'}).(\vec{MO} - \vec{MO'}) =4a²

Je fais comment pour conclure ?

Posté par
mathafou Moderateurre : Ligne de niveau (a+b+c+d=0) 14-09-20 à 21:00

Faux
tu as un facteur 2 qui as sauté en mettant tout ensemble

ensuite,
pour \vec{MO} - \vec{MO'}   : Chasles direct élimine M

et tu décomposes le reste via I ...
(vu que dans l'énoncé on a \vec{MI} dans le but à atteindre)

Posté par
matheux14re : Ligne de niveau (a+b+c+d=0) 14-09-20 à 21:14

2(\vec{MO} + \vec{MO'}).(\vec{MO} - \vec{MO'}) =4a²

(\vec{MO} + \vec{MO'}).(\vec{MO} - \vec{MO'}) =2a²

(\vec{MO} + \vec{MO'}).(\vec{MO} + \vec{O'M}) =2a²

(\vec{MO} + \vec{MO'}).(\vec{O'O}) =2a²

(\vec{MI}+\vec{IO}+\vec{MI}+\vec{IO'}).(\vec{O'I}+\vec{IO})=2a²

Comme çà ?

Posté par
matheux14re : Ligne de niveau (a+b+c+d=0) 14-09-20 à 21:17

(\vec{MI}+\vec{IO}+\vec{MI}+\vec{IO'}).(\vec{O'I}+\vec{IO})=2a²

2\vec{MI}.\vec{O'O}=2a²

\vec{MI}.\vec{O'O}=a²

\vec{IM}.\vec{O'O}=a²

Posté par
mathafou Moderateurre : Ligne de niveau (a+b+c+d=0) 14-09-20 à 21:26

presque
attention, aux signes !
\vec{MI}.\vec{O'O}=a² oui

\vec{IM}.\vec{O'O}=a² faux

Posté par
matheux14re : Ligne de niveau (a+b+c+d=0) 14-09-20 à 21:35

\vec{IM}.\vec{O'O}=-a²

Donc \vec{IM}.\vec{OO'}=a²

Par conséquent (E) est la droite perpendiculaire à (OO') passant par I.

Soit la médiatrice de [OO'].

Posté par
mathafou Moderateurre : Ligne de niveau (a+b+c+d=0) 14-09-20 à 22:10

non, pas passant par I du tout
en effet cette droite là (médiatrice de OO') serait \vec{IM}.\vec{OO'}=0 !

une perpendiculaire à (OO') oui,
mais il faut trouver le point H de (OO') où cette perpendiculaire coupe (OO')
il satisfait IH.OO' = a², sachant que OO' = 2a ...

Posté par
matheux14re : Ligne de niveau (a+b+c+d=0) 14-09-20 à 22:15

Ah oui ..

Merci

Posté par
matheux14re : Ligne de niveau (a+b+c+d=0) 14-09-20 à 22:24

Maintenant l'exo terminé ,

J'aimerais avoir une idée claire sur les lignes de niveau.

Comment devrait-on faire si la question 2) était :

2) Soit (E) l'ensemble des points M du plan tels que : MA²+MB²-MC²-MD²=4a²

Déterminer et construire l'ensemble (E).

?

Posté par
mathafou Moderateurre : Ligne de niveau (a+b+c+d=0) 15-09-20 à 00:02

si on a
aMA²+bMB²+cMC²+dMD²=K avec a+b+c+d = 0
sans indications précises sur la marche à suivre (alias résultats intermédiaires)
(avec a+b+c+d ≠ 0, tu sais faire)

on coupe cette somme en deux qui ne sont pas nulles toutes les deux
a+b+c+d = (a+b) - (-c-d)
(aMA² + bMB²) + (cMC²+dMD²) = K
comme a +b n'est pas nul , (aMA² + bMB²) s'exprime en fonction du barycentre I de (A,a) et (B,b)
et de même avec J = Bar (C,c) (D,d)

on a alors juste une relation entre MI² et MJ² : MI² - MJ² = K'
qui se factorise

ce qu'on a fait

autre exemple :
triangle équilatéral ABC de coté 2a (2a pour éviter des fractions)
E: MA² + MB² - 2MC² = 6a²
I = Bar(A, 1) (B, 1) = milieu de AB
MA² + MB² = 2MI² + 2a²
E : 2MI² + 2a² - 2MC² = 6a²
soit MI² - MC² = 2a²
et on factorise comme précédemment en \vec{JM}.\vec{IC} = a^2, avec J milieu de IC
resterait à construire géométriquement le point H avec JH.IC = a²


et du même genre avec d'autres coefficients ≠ ±1 et les barycentres adéquats et autant de points qu'on veut.

Posté par
matheux14re : Ligne de niveau (a+b+c+d=0) 15-09-20 à 08:42

Ok

Alors j'ai essayé par là Ligne de niveau dans un triangle équilatéral lorsque (a+b+c=0)


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